浙江省台州市七校联盟2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ， A = {2, 3, 4, 5} ， B = {2, 3, 6, 7}$ ，则 $B \cap C_{U} A$ （）

A、 ${1, 6}$ B、 ${1, 7}$ C、 ${6, 7}$ D、 ${1, 6, 7}$

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2. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（）

A、对任意实数x, 都有x > 1 B、不存在实数x，使x $\leq$ 1 C、对任意实数x, 都有x $\leq$ 1 D、存在实数x，使x $\leq$ 1

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3. 下列命题中，正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a < | b |$ ，则 $a^{2} < b^{2}$

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4. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = x + 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ D、 $f (x) = x, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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5. “ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2)$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如果奇函数 $f (x)$ 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则 $f (x)$ 在区间[-8，-2]上是（）

A、增函数且最小值为 $- 6$ B、增函数且最大值为 $- 6$ C、减函数且最小值为 $- 6$ D、减函数且最大值为 $- 6$

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二、多选题

9. 以下四个选项表述正确的有（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset \subseteq {0}$ C、 ${a, b} \subseteq {b, a}$ D、 $\emptyset \in {0}$

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10. （多选）关于函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的结论正确的是（）

A、定义域、值域分别是 $[- 1, 3]$ ， $[0, + \infty)$ B、单调增区间是 $(- \infty, 1]$ C、定义域、值域分别是 $[- 1, 3]$ ， $[0, 2]$ D、单调增区间是 $[- 1, 1]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 9 x + 8$ ，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = 3 x + 2$ B、 $f (x) = 3 x - 2$ C、 $f (x) = - 3 x + 4$ D、 $f (x) = - 3 x - 4$

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12. 当一个非空数集 $G$ 满足“如果 $a ， b \in G$ ，则 $a + b ， a - b ， a b \in G$ ，且 $b \neq 0$ 时， $\frac{a}{b} \in G$ ”时，我们称 $G$ 就是一个数域，以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域 $G$ 有非零元素，则 $2019 \in G$ ；③集合 $P = {x | x = 2 k ， k \in Z}$ 是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有（）

A、①② B、②③ C、③④ D、④⑤

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x)$ 的图像经过点（4，2），则 $f (32)$ 的值为

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14. 已知 $x$ ， $y$ 都是正数，若 $x + 2 y = 2$ ，则 $x y$ 的最大值是.

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15. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，当 $x \in (- 1.5, 3]$ 时，函数 $y = [\frac{x - 2}{2}]$ 的值域为．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若不等式 $\frac{m}{3 a + b} - \frac{3}{a} - \frac{1}{b} \leq 0$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{x}{\sqrt{x + 2}} + \frac{3}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域是集合A，集合B＝{x|m<x<m＋9}.

(1)、求集合A；

(2)、若 $m = 0$ .求 $A \cup B ， A \cap B$ ；

(3)、若B⊆∁_RA.求实数m的取值范围．

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18. 已知不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $M$ .

(1)、若 $1 \in M$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $M = {x | \frac{1}{2} < x < 2}$ ，求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \\ 2 x, x \geq 2 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (\sqrt{3}))$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 3$ ，求 $a$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、求出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图像，并写出单调区间；

(3)、若 $y = f (x)$ 与 $y = m$ 有3个交点，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园 $A B C D$ ，公园由矩形的休闲区（阴影部分） $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和环公园人行道组成，已知休闲区 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；

(2)、要使公园所占面积最小，问休闲区 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的长和宽应分别为多少米？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} - 1}$ 是定义域 $(- 1, 1)$ 上的奇函数.

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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