浙江省台州市六校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = R$ , $A = {x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$ D、 $(- 1, 2)$

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2. 命题“∀x＞0，x²+x＞0”的否定是（）

A、∃x₀＞0，x₀²+x₀＞0 B、∃x₀＞0，x₀²+x₀≤0 C、∀x＞0，x²+x≤0 D、∀x≤0，x²+x＞0

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3. 下列命题中,正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a c > b c$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a - c > b - d$ D、若 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a < b$

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4. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = {\begin{array}{l} x, x \geq 0, \\ - x, x < 0, \end{array} g (x) = | x |$ B、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $f (x) = x + 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

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5. 化简 $\lg \frac{5}{2} + 2 \lg 2 - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ 的值得（）

A、2 B、－2 C、1 D、-1

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6. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 ${x | - 4 < x < 1}$ ，则不等式 $b (x^{2} - 1) + a (x + 3) + c > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | - \frac{4}{3} < x < 1}$ C、 ${x | x < 1 或 x > \frac{4}{3}}$ D、 ${x | x < - 2 或 x > 1}$

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7. 当 $0 < x < \frac{1}{4}$ 时，不等式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 4 x} - m \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + c}$ 的图象如图所示，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 命题 $" \forall x \in {x | 1 \leq x \leq 2}, x^{2} - a \leq 0 "$ 为真命题的一个充分条件是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq 5$ D、 $a \geq 5$

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10. 如果幂函数 $f (x) = m \cdot x^{α}$ 的图象过 $(2, \frac{1}{4})$ ，下列说法正确的有（）

A、 $m = 1$ 且 $α = - 2$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $(0, + \infty)$

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11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若 $\forall x \in D$ ， $\exists y \in D$ 使得 $f (y) = - f (x)$ 成立，则称 $f (x)$ 为“美丽函数”.下列函数中是“美丽函数”的有（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = 2^{x} + 1$ C、 $y = \ln (2 x + 3)$ D、 $y = 2 x - 5$

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12. 已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty, 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ， $x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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三、填空题

13. 已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则 ${log}_{2} (2 a) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1},$ 且 $f (p) = 4$ ，则实数 $p$ =.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} (1 - 2 a) x + 3 a ， x < 1 \\ \ln x ， x \geq 1 \end{matrix}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 若正数 $x, y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} + \frac{3}{2 x y} = 1$ ，则 $x y$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (- x^{2} + 2 x + 3) .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的单调增区间和减区间（不要求证明）.

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ ， $g (x) = (4 - \ln x) \cdot \ln x + b (b \in R) .$

(1)、若 $f (x) > 0$ ，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，设函数 $f (x), g (x)$ 的值域分别为 $A, B$ ，若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - | x | + 2 a - 1 （ a$ 为实常数）.

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并给出证明；

(2)、若 $a > 0$ ，设 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式.

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20. 已知定义域为 $R$ 的函数， $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值，并用定义证明其单调性；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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21. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q= $\frac{3 x + 1}{x + 1}$ （x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

(1)、试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；

(2)、当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

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22. 定义：若对定义域内任意x，都有 $f (x + a) > f (x)$ （a为正常数），则称函数 $f (x)$ 为“a距”增函数．

(1)、若 $f (x) = 2^{x} - x$ ， $x \in$ (0， $+ \infty$ )，试判断 $f (x)$ 是否为“1距”增函数，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x + 4$ ， $x \in$ R是“a距”增函数，求a的取值范围；

(3)、若 $f (x) = 2^{x^{2} + k | x |}$ ， $x \in$ (﹣1， $+ \infty$ )，其中k $\in$ R，且为“2距”增函数，求 $f (x)$ 的最小值．

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