浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {x | x - 2 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{1} B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 已知命题p： $\exists x_{0} \in$ R， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ ，则p的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \in$ R， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 > 0$ B、 $\exists x_{0} \in$ R， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ C、 $\forall x \in$ R， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in$ R， $x^{2} - x + 1 > 0$

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3. 下列函数中，满足“对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ”的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = \sqrt{x + 2}$ D、 $f (x) = 2^{x}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{2 x^{2} - 1}$ 的图像的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ B、 $- \frac{1}{b} > - \frac{1}{a}$ C、 $a b > a^{2}$ D、 $b^{2} > a b$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[2 ， 8]$ ，则函数 $h (x) = f (2 x) + \sqrt{9 - x^{2}}$ 的定义域为（）

A、 $[4, 16]$ B、 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$ C、 $[3, 4]$ D、 $[1, 3]$

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7. 已知一元二次不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | x < - 4$ 或 $x > 4}$ ，则 $f (x^{2}) > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ B、 ${x | 0 \leq x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | - 16 < x < 16}$

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8. 设 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ ， $0 < s < t$ ，若 $a = f (\sqrt{s t}), b = f (\frac{s + t}{2}), c = \frac{f (s) + f (t)}{2},$ 则下列不等关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 若实数 $m, n > 0$ ，满足 $2 m + n = 1$ ，以下选项中正确的有（）

A、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{m + 1} + \frac{9}{n + 2}$ 的最小值为5 D、 $4 m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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10. 若非空数集 $M$ 满足任意 $x, y \in M$ ，都有 $x + y \in M$ ， $x - y \in M$ ，则称 $M$ 为“优集”．已知 $A, B$ 是优集，则下列命题中正确的是（）

A、 $A \cap B$ 是优集 B、 $A \cup B$ 是优集 C、若 $A \cup B$ 是优集，则 $A \subseteq B$ 或 $B \subseteq A$ D、若 $A \cup B$ 是优集，则 $A \cap B$ 是优集

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三、填空题

11. 化简 ${(\frac{125}{27})}^{\frac{1}{3}} + {(2 \frac{7}{9})}^{0.5}$ =

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x}, x < 2 \\ \sqrt{x + 1} - 1, x \geq 2 \end{array}$ ，则 $f (f (3))$ 的值为

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13. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}$ 的单调递减区间为

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14. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - 2 f (x)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $f (7) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \geq 0 \\ x + 1, x < 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) + f (x - \frac{1}{2}) > \frac{3}{2}$ 的解集为

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16. 函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $P (a, b)$ 对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 是奇函数，那么函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ 的对称中心是

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17. 已知 $x^{2} - (2 a + 1) x - \frac{a + 1}{x} + a^{2} + a + 1 \leq 0$ 在 $x \in [1, 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为

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四、解答题

18. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a + 3) x^{a}$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m x - 3$ 在 $[1, 3]$ 上不是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | | 2 x - a | \geq 2}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{3 - x} > 0}$

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ;

(2)、若 $A \cup (∁_{U} B) = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 汤姆今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年( $x \in N^{*}$ )所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为 $(x^{2} + 2 x)$ 万元（今年为第一年）．

(1)、该出租车第几年开始赢利（总收入超过总支出）？

(2)、该车若干年后有两种处理方案：
①当赢利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；

②当年平均赢利达到最大值时，以10万元卖出.

试问哪一种方案较为合算？请说明理由．

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x | x - a | - 2 x$ ， $x \in [- 3, 3]$ .

(1)、若 $a = 0$ ， $f (x) \leq t$ 恒成立，求实数 $t$ 的最小值；

(2)、若 $a \in$ $[- 2, + \infty)$ ，求 $f (x)$ 的最大值.

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