湖南省长沙市长郡双语2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：开学考试

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一、单选题

1. −4的绝对值是（）

A、4 B、−4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（　　）

A、3.386×10⁸ B、0.3386×10⁹ C、33.86×10⁷ D、3.386×10⁹

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3. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 点 $M (m + 1, m + 3)$ 在y轴上，则点M的坐标为（）

A、 $(0, - 4)$ B、 $(4, 0)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(0, 2)$

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5. 下列说法正确的是( )

A、“打开电视剧，正在播足球赛”是必然事件 B、甲组数据的方差S_甲²=0.24，乙组数据的方差S_乙²=0.03，则乙组数据比甲组数据稳定 C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5 D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是 $\frac{1}{2}$ ”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上

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6. 如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）

A、A B、B C、C D、D

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7.
如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　　）

A、20 B、15 C、10 D、5

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8.
如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6，且PA=8，则cos∠APO等于（　　）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 一元二次方程x²+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（）

A、3 B、﹣1 C、﹣3 D、﹣2

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10.
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= $\frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若AD=24，BD=6，则CD的长是（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限， $B A ⊥ x$ 轴于点A，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象与线段 $A B$ 相交于点C，且C是线段 $A B$ 的中点，点C关于直线 $y = x$ 的对称点 $C^{'}$ 的坐标为 $(1 ， n) (n \neq 1)$ ，若 $△ O A B$ 的面积为3，则k的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 若式子 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 有意义，则x的取值范围是

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14. 分解因式： $x y^{2} - 4 x =$ ．

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15. 已知圆锥的底面半径为 $2 c m$ ，母线长为 $5 c m$ ，则圆锥的侧面积是.

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16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD ，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为.(填一个即可)

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17. 三角形的中位线把三角形分成的两部分的面积之比是 .

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18. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2}$ 的图象与坐标轴交于点A ， B ， D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C ，圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E在⊙M的内部；②CD的长为 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ ；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ $\sqrt{6}$ ，则PE＝ $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是

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三、解答题

19. 计算：（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹﹣2cos30°+ $\frac{\sqrt{27}}{3}$ +（3﹣π）⁰

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20. 先化简，再求值： $(x - 1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} + x^{}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中x请从不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 0 \\ - \frac{1}{2} (x + 2) < 0 \end{array}$ 的解集中选取一个合适的值代入．

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21. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、这次调查的学生共有多少名；

(2)、请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；

(3)、如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．

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22. 已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E ．

(1)、求证：△AOD≌△EOC；

(2)、连接AC、DE ，当∠B=∠AEB=45°时，求证四边形 ACED是正方形．

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23. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

(1)、求w与x之间的函数关系式．

(2)、该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)、如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

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24. 如图，AD是⊙O的切线，切点为A ， AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD ，交⊙O于点C ，连接AC ，过点C作CD∥AB ，交AD于点D ，连接AO并延长交BC于点M ，交过点C的直线于点P ，且∠BCP＝∠ACD ．

(1)、求证：∠BAP＝∠CAP；

(2)、判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(3)、若AB＝5 $\sqrt{6}$ ，BC＝10，求PC的长．

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25. 如图，抛物线y＝ax²﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣ $\frac{8}{3}$ ），与x轴交于A、B两点．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、连接AC ， E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 $\frac{AE}{AB}$ 的值．

(3)、点C关于x轴的对称点为H，当 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．

(1)、若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝；

(2)、如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O ， AC与BD相交于点P ，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；

(3)、如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O ，且四边形ABCD的面积为 $15 \sqrt{3}$ ，若二次函数y＝ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．

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