安徽省名校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3} ， B = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | 3 \leq x < 4}$ C、 ${x | x < 1 或 x \geq 4}$ D、 ${x | 1 \leq x < 4}$

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2. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2} ， B = {0 ， 2 ， 3}$ ，则如图所示的阴影部分的集合等于（）

A、 ${0 ， 2}$ B、{3} C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 4}$

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3. 命题“ $\forall x > 0, x^{2} - 2 x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 2 x \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0, x^{2} - 2 x \leq 0$ C、 $\exists x > 0, x^{2} - 2 x \leq 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} - 2 x \leq 0$

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4. 设 $z \in R$ ，则 $x = 1$ 是 $x^{2} = 1$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + a, x > 5 \\ f (x + 2), x \leq 5 \end{matrix}$ ，若 $f (2) = 5$ ，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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6. 函数 $f (x) = x - \frac{| x |}{x}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 幂函数 $y = f (x)$ 经过点 $(27, 3)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 B、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 C、奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数

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8. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数，则以下关系正确的是（）

A、 $f (π) < f (1) < f (- 3)$ B、 $f (1) < f (- 3) < f (π)$ C、 $f (1) < f (π) < f (- 3)$ D、 $f (- 3) < f (1) < f (π)$

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9. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 6, x \geq 0 \\ x + 6, x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $f (x) > 3$ 的解集是（）

A、 $(- 3, 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 3, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (1, 3)$

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10. 若二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 a x + 1$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值为6，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ 或5 C、 $\frac{1}{3}$ 或-5 D、 $- \frac{1}{3}$

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11. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $x - y < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x^{\frac{1}{2}} > y^{\frac{1}{2}}$ C、 $\frac{x}{y} > 1$ D、 $x^{3} < y^{3}$

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12. 函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) = f (x + 4)$ ，已知 $f (x) = {\begin{matrix} x, x \in [0, 1] \\ 2 - x, x \in (1, 2] \end{matrix}$ ， $g (x) = f (x + 1)$ ，则函数 $y = g (x) + f (x)$ 的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为.

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15. 若实数 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{8}{a b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1$ ，则 $a b$ 的最大值为.

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16. 若函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上是减函数，又 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 9 < 0}, B = {x | x < - 2$ 或 $x > 4}$ ， $C = {x | 2 m < x < m + 1, m \in R}$ .

(1)、求 $A \cap B, A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B \subseteq C$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 从给出的三个条件① $a = 1$ ，② $a = 2$ ，③ $a = 3$ 中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合 $A = {0, a + 2}, B = {0, 1, a^{2}}$ .

(1)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的值；

(2)、已知_______，若集合 $C$ 含有两个元素且满足 $C \subseteq A \cup B$ ，求集合 $C$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x}$ （ $a$ 为常数），其中 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 4, 0)$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = x + f (x)$ ，当 $x (x > 0)$ 为何值时， $g (x)$ 取得最小值，并求出其最小值.

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20. 已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ， $f (2) = - 3$ ， $f (3) = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求出 $y = f (x)$ 图象的顶点坐标；

(2)、在给出的平面直角坐标系中做出 $y = | f (x) |$ 的图象；

(3)、若函数 $g (x) = a - | f (x) |$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某地为开拓当地的一种农产品销售市场，将该农产品进行网上销售.该地统计了一个月的网上销售情况，在30天内每斤的交易价格 $P$ （元）与时间 $t$ （天）组成有序数对 $(t ， P)$ ，点 $(t ， P)$ 恰好落在如图中的两条线段上；该农产品在30天内（包括第30天）的日交易量 $Q$ （万斤）与时间 $t$ （天）满足 $Q = a t + 30$ ，且已知第十天的交易量为20万斤.

(1)、根据提供的图象，写出该农产品每斤交易价格 $P$ （元）与时间 $t$ （天）所满足的函数关系式；

(2)、用 $y$ （万元）表示该农产品日交易额（日交易额=每斤交易价格×日交易量），求 $y$ 关于 $t$ 的函数关系式，并求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少？

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22. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 1 (x, y \in R)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求 $f (0), f (- 1)$ 的值，并判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [1, 2]$ 时，不等式 $f (a x^{2} - 3 x) + f (x) < 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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