上海松江区2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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2. 函数y=﹣2x²先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）

A、y=﹣2（x﹣1）²+2 B、y=﹣2（x﹣1）²﹣2 C、y=﹣2（x+1）²+2 D、y=﹣2（x+1）²﹣2

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3. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ D、 $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{c}, \vec{b} = 2 \vec{c}$

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4. 一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m ，那么此人升高了（　　）

A、50m B、100m C、150m D、200m

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5. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $A D ： B D = 1 ： 2$ ，那么下列条件中能够判断 $D E / / B C$ 的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{3}$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E是 $C D$ 边上一点， $D E ： E C = 2 ： 3$ ，连接 $A E ， B E ， B D$ ，且 $A E ， B D$ 交于点F．若 $S_{△ D E F} = 2$ ，则 $S_{△ A B E} =$ （）

A、7 B、15 C、17.5 D、18.5

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二、填空题

7. 已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm.

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8. 已知点C是线段AB的黄金分割点（ $A C > B C$ ），AB=4，则AC= ．

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9. 已知在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB的长是．

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10. 已知抛物线 $y = (1 - k) x^{2} + 3 x$ 的开口向下，那么k的取值范围是．

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11. 二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 的图像与 $y$ 轴的交点坐标是.

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12. 如果点 $A (- 3, y_{1})$ 和点 $B (- 2, y_{2})$ 是抛物线 $y = - x^{2} + k$ 上的两点，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“＞”、“=”、“＜”）．

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13. 如图，已知在 $▱ A B C D$ 中，E是边 $A B$ 的中点， $D E$ 与对角线 $A C$ 相交于点F．如果 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{D E} =$ （用含 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的式子表示）．

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14. 如图，l₁//l₂//l₃ ，直线a、b与l₁、l₂、l₃分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 3$ ，点G是 $△ A B C$ 的重心，如果 $D G / / B C$ ，那么 $D G =$ ．

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16. 在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机在海平面上方1200米的点A处，测得其到海平而观摩点B的俯角为60°，此时点A、B之间的距离是米.

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17. 如图，一段抛物线： $y = - x (x - 2) (0 \leq x \leq 2)$ 记为 $C_{1}$ ，它与x轴交于点 $O ， A_{1}$ ；将 $C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180^{°}$ 得 $C_{2}$ ，交x轴于点 $A_{2}$ ；将 $C_{2}$ 绕点 $A_{2}$ 旋转 $180^{°}$ 得 $C_{3}$ ，交x轴于点 $A_{3} \dots$ 如此进行下去，则 $C_{2020}$ 的顶点坐标是．

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18. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°} ， A B = 1 ， B C = 2$ ，点 $E ， F$ 分别在边AB、AC上，连接 $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折，使A落在 $B C$ 上的D处， $F D ⊥ B C$ ，则 $E D =$ ．

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三、解答题

19. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x

…

-2

-1

0

1

2

…

y

…

0

4

6

6

4

…

求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6 ， △ A B C$ 的面积为25，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B ， A C ， B C$ 上， $D E / / B C ， D F / / A C$ ，已知 $\frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $B F$ 的长．

(2)、求四边形 $D F C E$ 的面积．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是BC边上的高， $B C = 4 ， A D = 12 ， \sin B = \frac{4}{5}$ ．

求：

(1)、线段 $C D$ 的长；

(2)、 $\sin ∠ B A C$ 的值．

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22.
如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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23. 已知：如图，直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90^{°} ， A D / / B C$ ，点E在边 $B C$ 上，点F在对角线 $A C$ 上，且 $∠ D F C = ∠ A E B$ ．

(1)、求证： $A D \cdot C E = A F \cdot A C$ ；

(2)、当点E、F分别是边 $B C ， A C$ 的中点时，求证： $A B ⊥ A C$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 过 $A ， B ， C$ 三点，点A的坐标是 $(3 ， 0)$ ，点C的坐标是 $(0 ， - 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、求以点A、点C及点D围成的 $△ A C D$ 的面积；

(3)、在抛物线上是否存在点P，使得 $∠ P C A = 15^{°}$ ，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．

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25. 如图

如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°} ， A C = B C ， D$ 是 $A B$ 边上一点，E是在 $A C$ 边上的一个动点（与点 $A 、 C$ 不重合）， $D F ⊥ D E ， D F$ 与射线 $B C$ 相交于点F．

(1)、如图2，如果点D是边 $A B$ 的中点，求证： $D E = D F$ ；

(2)、如果 $A D ： D B = k$ ，求 $D E ： D F$ 的值；

(3)、如果 $A C = B C = 6 ， A D ： D B = 1 ： 2$ ，设 $A E = x ， B F = y$ ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

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x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	0	4	6	6	4	…