山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知i是虚数单位，则 $\frac{2 i}{1 + i}$ 的模为（）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 设集合 $A = {x ∣ y = \ln (1 - x)}$ ，集合 $B = {y ∣ y = x^{2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $\emptyset$

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3. “ $\ln a > \ln b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 数列 ${\frac{2}{a_{n} + 1}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = - \frac{1}{3}$ ，那么 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、5 D、-5

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5. 若 $3 \cos 2 α = 2 \sin (\frac{π}{4} - α)$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ 则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2 a}{a + b}$ （）

A、有最小值为4 B、有最小值为 $2 \sqrt{2} + 1$ C、有最小值为 $\frac{14}{3}$ D、无最小值

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7. 已知O是 $△ A B C$ 的外心， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ，若 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且 $2 x + 10 y = 5 (x \neq 0)$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $10 \sqrt{2}$ B、18 C、24 D、 $20 \sqrt{2}$

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8. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意的实数 $x$ 都有 $f (x) = f (- x) + 2 x$ ，当 $x > 0 时， f^{'} (x) > 2 x + 1$ .若 $f (a + 1) \geq f (- a) + 2 a + 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + | x |$ ．则下面结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上为增函数 C、若 $x \neq 0$ ，则 $f (x + \frac{1}{x}) > e^{2} + 2$ D、若 $f (x - 1) < f (- 1)$ ，则 $0 < x < 2$

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10. 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)

部分自变量､函数值如下表所示，下列结论正确的是（）

x				$\frac{π}{3}$	$\frac{7 π}{12}$
$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
f(x)	2	5

A、函数解析式为

f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{5 π}{6})

B、函数

f (x)

图象的一条对称轴为

x = - \frac{2 π}{3}

C、

(- \frac{5 π}{12} ， 2)

是函数

f (x)

图象的一个对称中心 D、函数

f (x)

的图象向左平移

\frac{π}{12}

个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数

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11. 如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△AMB沿直线AM翻折成△AB₁M，连接B₁D，N为B₁D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得CN⊥AB₁ B、CN的长是定值 C、若AB=BM，则AM⊥B₁D D、若AB=BM=1，当三棱锥B₁－AMD的体积最大时，三棱锥B₁－AMD的外接球的表面积是4π

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12. 下列不等式中正确的是（）

A、 $\ln 3 < \sqrt{3} \ln 2$ B、 $\ln π < \sqrt{\frac{π}{e}}$ C、 $2^{\sqrt{15}} < 15$ D、 $3 e \ln 2 > 8$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (k, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $k$ 的值为．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{4} a_{6} = 2 a_{5} - 1$ ，则 $a_{9} =$ ．

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15. 已知二面角 $P - A B - C$ 的大小为120°，且 $∠ P A B = ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = A P$ ， $A B + B C = 6$ .若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为.

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16. 已知对任意x，都有 $x e^{2 x} - a x - x \geq 1 + \ln x$ ，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 在条件① $(a + b) (\sin A - \sin B) = (c - b) \sin C$ ，② $a \sin B = b \cos (A + \frac{π}{6})$ ，③ $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $b + c = 6$ ， $a = 2 \sqrt{6}$ ， ▲ . 求△ABC的面积

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18. 已知 $f (x) = a x^{2} + (a - 1) x - 1 (a \in R)$ .
（Ⅰ）若 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ ，求关于x的不等式 $\frac{a x + 3}{x - 1} \leq 0$ 的解集；

（Ⅱ）解关于x的不等式 $f (x) \geq 0$ .

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19. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{5} = 20$ ， $a_{2} = 3$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} = 2^{n}$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中与 ${b_{n}}$ 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列 ${c_{n}}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2020}$ .

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A B = A A_{1} = 2$ ，E，F分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点.

（Ⅰ）若D是 $A A_{1}$ 的中点，求证： $B D / /$ 平面AEF；

（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线 $B_{1} M$ 与平面AEF所成的角为 $60 °$ ？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数.

(1)、求k的值；

(2)、设 $g (x) = \log_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 1 + x - 2 \sin x$ ， $x > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $f (x) > e^{- 2 x}$ .

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