山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $z (1 - i) = 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、i D、-i

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2. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | | x - 2 | \leq 1},$ $B = {x | y = \log_{2} x, y > 0},$ 则 $A \cap (∁_{U} B)$ = （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | x \leq 3}$

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3. m、n是平面 $α$ 外的两条直线，在m∥ $α$ 的前提下，m∥n是n∥ $α$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设复数 $z$ 满足 $| z - (1 + i) | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、2 D、3

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5. 函数 $y = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 与 $y = x^{b}$ 的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $b^{a} > 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $\log_{a} 2 > b$ D、 $a^{b} > 1$

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6. 已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，若函数 $h (x) = [x] - 1$ ，函数 $f (x) = \frac{2}{x} - \ln x$ 的零点是 $x_{0}$ ，则 $h (x_{0}) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点 $F$ 在半圆 $O$ 上，点 $C$ 在直径 $A B$ 上，且 $O F ⊥ A B$ ，设 $A C = a$ ， $B C = b$ ，则该图形可以直接完成的无字证明为（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ $(a > 0 ， b > 0)$ B、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ $(a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ $(a > 0 ， b > 0)$ D、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ $(a > 0 ， b > 0)$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = a n^{2} + b n$ ，（ $a, b$ 均为常数），且 $a_{7} = \frac{π}{2}$ .设函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ ，记 $y_{n} = f (a_{n})$ ，则数列 ${y_{n}}$ 的前 $13$ 项和为（）

A、 $\frac{13 π}{2}$ B、 $7 π$ C、7 D、13

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二、多选题

9. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $\frac{a_{n + 2} - a_{n + 1}}{a_{n + 1} - a_{n}} = k$ （ $k$ 为常数），则称 ${a_{n}}$ 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）

A、 $k$ 不可能为 $0$ B、“等差比数列”中的项不可能为 $0$ C、等差数列一定是“等差比数列” D、等比数列一定是“等差比数列”

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10. 函数 $f (x)$ 对任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ， $f (1) = \frac{1}{3}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数 B、 $f (x)$ 在 $[- 6, 6]$ 上的最小值为 $- 2$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、若 $f (x) + f (x - 3) \geq - 1$ ，则实数 $x$ 的取值范围为 $[0, + \infty)$

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11. 四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ A = 90^{\circ} ， A B = 2 A D = 2 D C ，$ $\vec{B C} = 3 \vec{E C} ， \vec{A E} = 2 \vec{A F} ，$ 则下列表示正确的是（）

A、 $\vec{C B} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{C F} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\vec{B F} = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a c$ 的最小值是4 B、 $a c$ 的最大值是4 C、 $a + 3 c$ 的最小值是 $3 + 2 \sqrt{3}$ D、 $a + 3 c$ 的最小值是 $4 + 2 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为 $81$ ，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 $81 \times (1 - \frac{1}{3}) = 54$ ，能发出第三个基准音的乐器的长度为 $54 \times (1 + \frac{1}{3}) = 72$ ， $\dots \dots$ ，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到 $12$ 个，称为“十二律”.若能发出第六个基准音的乐器的长度为 $256$ ，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为.

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14. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 满足 $| 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | = \sqrt{3}$ .设 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} ， \vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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15. 如图所示，一块长为5m，宽为3m缺一角 $A$ 的长方形木板， $E F$ 是直线段.木工师傅想要在 $B C$ 的中点 $M$ 处作 $E F$ 延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在 $B F$ 边上找到一点 $N$ ，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时 $F N$ 的长度为m.

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四、双空题

16. 如图，设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\sqrt{3} (a \cos C + c \cos A) = 2 b \sin B$ ，且 $∠ C A B = \frac{π}{3}$ .若点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点， $C D = 1$ ， $A D = 3$ ，则当 $∠ D =$ 时，四边形 $A B C D$ 的面积的最大值为

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五、解答题

17. 在① $a_{1} + a_{3} = b_{3}$ ，② $b_{2} + S_{5} = - b_{4}$ ，③ $a_{1} + a_{9} = - 4$ 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的 $m$ 存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.
设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，设前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 ▲ ， ▲ ，且 $b_{1} = 2, T_{4} = 5 T_{2}$ .是否存在大于 $2$ 的正整数 $m$ ，使得 $4 S_{1}, S_{3}, S_{m}$ 成等比数列？

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

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18. 将函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 后得到 $g (x)$ 图象，已知 $g (x)$ 的部分图象如图所示，该图象与 $y$ 轴相交于点 $F (0 ， 1)$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ 、 $C$ ，点 $M$ 为最高点，且 $S_{Δ}_{M B C} = \frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式，并求出 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的递增区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $g (A) = 1$ ，且 $a = \sqrt{5}$ ，求 $S_{Δ A B C}$ 的最大值．

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19. 已知向量 $\vec{m} = (\cos^{2} x, a \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3}, - \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，求方程 $f (x) = - \frac{3}{4}$ 在区间 $[- π, π]$ 上的解.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1,$ 且满足 $S_{n + 1} = 4 S_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $1 \leq i \leq n$ ， $1 \leq j \leq n$ （ $i, j, n$ 均为正整数）时，求 $a_{i}$ 和 $a_{j}$ 的所有可能的乘积 $a_{i} a_{j}$ 之和.

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21. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + a x - a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x \in [1 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cos x - x$ ， $g (x) = x (\sin x - 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 上的单调性；

(2)、判断 $f (x) - g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上零点的个数，并给出证明.

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