山东省德州市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N_{+} | 1 ⩽ 2^{x} < 8}$ ，集合 $B = {y | y = x^{2}}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 若 $p : (a^{2} + 1) x - 4 = 0$ 是 $q : x^{2} + x - 6 = 0$ 的充分不必要条件，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1或-1

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3. 若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°， $| \vec{a} | ＝ 2$ ， $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) ＝ 3$ ，则 $| \vec{b} | ＝$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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4. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积= $\frac{1}{2}$ （弦×矢+矢×矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为 $4 \sqrt{3}$ ，按照上述公式计算，所得弧田面积是（）

A、 $4 \sqrt{3} + 2$ B、 $4 \sqrt{3} + 3$ C、 $2 \sqrt{3} + 4$ D、 $2 \sqrt{2} + 4$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} ln x, x > 0 \\ 2^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、 $\sqrt{e}$ C、-1或 $e^{2}$ D、-1或 $\sqrt{e}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $A C = 4$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b}{\sin A + \sin B} =$ （）

A、 $4 \sqrt{7}$ B、 $\frac{4 \sqrt{57}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$

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7. 正整数的排列规则如图所示，其中排在第 $i$ 行第 $j$ 列的数记为 $a_{i, j}$ ，例如 $a_{4, 3} = 9$ ，则 $a_{64 ， 5}$ 等于（）
$\begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{matrix} \\ \dots \dots \end{array}$

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{2} \cdot e^{| x |}$ ， $a = f (l o g_{3} \sqrt{5})$ ， $b = f (l o g_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数 $a > b$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} > 1$ B、 $a b ⩽ \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ ≥2 D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6}) \cos (x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $x = - \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将函数 $g (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位后得到函数 $f (x)$ 的图象

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{6} = 8 a_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 为单调递增数列 B、 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = 9$ C、 $S_{3}$ ， $S_{6}$ ， $S_{9}$ 成等比数列 D、 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) < \frac{1}{x}$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (e) > 2$ B、 $f (\frac{1}{e}) > 0$ C、 $\forall x \in (1 ， e)$ ， $f (x) < 2$ D、 $\forall x \in (- \frac{1}{e} ， 1)$ ， $f (x) - f (\frac{1}{x}) + 2 > 0$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, λ)$ ，若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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14. 函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sin (\frac{π}{2} + x) \cos x + \frac{1}{2}$ ，则 $f (x)$ 的最小值为.

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15. 若点 $A (2 ， 1)$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0$ 上，且 $m > 0$ ， $n > 0$ .则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + 3^{- x} - 3$ ，若函数 $g (x) = | f (x) | - \log_{a} (x + 2)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[- 1 ， 1]$ 上有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, b)$ 对称；
②函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ ；

③函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称.

这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.

已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) + b (| φ | < \frac{π}{2})$ ，若满足条件 ▲ 与 ▲ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $y = f (x)$ 的图象上点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递减区间.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，满足 $a_{2} = b_{1} = 3$ ， $a_{5} + a_{9} = 26$ ， $b_{3} = a_{14}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + b x + 2$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $3 x - 2 y + 1 = 0$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $0 < a < 2$ ， $b = 0$ 时，记 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，求 $M - N$ 的取值范围.

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 1$ ， $c \cos A = \sqrt{2} \sin B - \cos C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = {\begin{array}{l} 3, n = 1 \\ a_{1} + 4 a_{n - 1} + 4, n \geq 2 \end{array}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $C_{n} = \log_{2} \frac{b_{n}}{5 \sqrt{2}}$ ，数列 ${\frac{1}{C_{n} \cdot C_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{4}{3} ⩽ T_{n} < 2$ .

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + a \ln x$ ， $g (x) = 2 a \ln x - 4 x + b$ ，其中 $a > 0$ ， $b \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 2$ 且方程 $f (x) = g (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ ，上有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0$ .

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