河南省南阳市2020-2021学年高三上学期理数期中质量评估试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x (x - 2)} < 1}$ ， $B = {x | y = \ln (x + 1)}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $(- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0] \cup [2, + \infty)$ C、 $(- 1, 0] \cup (2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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2. 若复数 $\frac{a - 2 i}{1 + i}$ （ $a \in R$ ）为纯虚数，则 $| 1 - a i | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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3. 公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $2 a_{3} - a_{7}^{2} + 2 a_{11} = 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{7} = a_{7}$ ，则 $b_{6} b_{8} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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4. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $△ A B C$ 中，设 $p$ ： $\sin A > \cos C$ ， $q$ ： $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 ， \\ x - y \leq 1 ， \\ x \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\tan α = \frac{1 - \sin β}{\cos β}$ ，则（）

A、 $3 α - β = \frac{π}{2}$ B、 $3 α + β = \frac{π}{2}$ C、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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8. 已知函数 $y = a^{x}$ （ $a > 1$ ）与 $y = \log_{a} x$ （ $a > 1$ ）的图象有且仅有两个公共点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $1 < a < e^{\frac{1}{e}}$ B、 $1 < a < e$ C、 $e^{\frac{1}{e}} < a < e$ D、 $a > e$

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9. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x - 2 \sin x$ ， $x \in (0 ， 2 π)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 是增函数 B、 $f (x)$ 的极大值点是 $\frac{2 π}{3}$ C、 $f (x)$ 是减函数 D、 $f (x)$ 的极小值点是 $\frac{2 π}{3}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 0.2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{3} b_{n + 1} + \frac{2}{3} a_{n}$ ， $b_{n + 1} = \frac{1}{4} a_{n} + \frac{3}{4} b_{n}$ ，则使 $a_{n} - b_{n} < 0.01$ 成立的最小正整数 $n$ 为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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11. 已知函数 $f (x) = \sin x + x^{3} - a x$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 是增函数 C、当 $a = - 3$ 时，函数 $f (x)$ 恰有三个零点 D、当 $a = 3$ 时，函数 $f (x)$ 恰有两个极值点

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12. 设 $a > b > c > 0$ ，则 $2 a^{2} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{a (a - b)} - 10 a c + 25 c^{2}$ 取得最小值时， $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 将函数 $f (x) = \sin (- 2 x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6})$ 为函数．（填“增”或“减”）

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14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q.前n项和为 $S_{n}$ .若 $S_{n}_{+ 1}$ ， $S_{n}$ ， $S_{n}_{+ 2}$ 成等差数列，则q的值为.

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15. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = λ | \vec{a} + \vec{b} |$ ， $λ \in [\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = \cos x - f (- x)$ ，且 $f^{'} (x) + \frac{\sin x}{2} < 0$ ，则满足 $f (x - π) + f (x) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\sin B, - \cos A)$ ，且 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $| \overset{⇀}{n} | = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $\cos C$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = n - a_{n}$ ， $(n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots)$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、令 $b_{n} = (2 - n) (a_{n} - 1) (n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots)$ ，如果对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $b_{n} + \frac{1}{4} t \leq t^{2}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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19. 函数 $f (x) = 6 {cos}^{2} \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} \sin ω x - 3 (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $Δ A B C$ 为正三角形.

(1)、求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3} ， \frac{2}{3})$ ，求 $f (x_{0} + 1)$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = e^{x} \cos x$ ．

(1)、讨论函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调性；

(2)、求函数 $H (x) = g (x) - x f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的零点个数．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $3 (n + 1) S_{n} - n S_{n + 1} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2 a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ， $n \in N_{+}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} < 3$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = m x - a \ln x - m$ ， $g (x) = \frac{e x}{e^{x}}$ ，其中 $m$ ， $a$ 均为实数．

(1)、试判断过点 $(- 1 ， 0)$ 能做几条直线与 $y = g (x)$ 的图象相切，并说明理由；

(2)、设 $m = 1 ， a < 0$ ，若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [3 ， 4]$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < | \frac{1}{g (x_{2})} - \frac{1}{g (x_{1})} |$ 恒成立，求 $a$ 的最小值．

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