福建省厦门市同安区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个方程可能是（）

A、 $3 x^{2} + 1 = 0$ B、 $3 x^{2} + x + 1 = 2$ C、 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ D、 $3 x^{2} - x = 1$

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2. 在平面直角坐标系中，点（2，6）关于原点对称的点的坐标是（）

A、(-2，-6) B、(-2，6) C、(-6，2) D、(6，2)

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3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A、线段 B、平行四边形 C、圆 D、等边三角形

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4. 如果将抛物线 $y = x^{2} + 2$ 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = x^{2} + 3$

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5. 如图，C是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）

A、35° B、70° C、105° D、150°

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6. 方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有且只有一个实数根 D、没有实数根

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7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE ，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（）

A、30° B、35° C、40° D、45°

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8. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）

A、 $x + x (1 + x) = 81$ B、 $1 + x + x^{2} = 81$ C、 $1 + x + x (1 + x) = 81$ D、 $x (1 + x) = 81$

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9. 已知二次函数y=ax²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x

…

﹣1

0

1

2

3

…

y

…

10

5

2

1

2

…

则当y＜5时，x的取值范围为（）

A、0＜x＜4 B、﹣4＜x＜4 C、x＜﹣4或x＞4 D、x＞4

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10. 如图，AB切⊙O于点B ， OA与⊙O相交于点C ， AC=CO ，点D为 $\hat{B C}$ 上任意一点(不与点B、C重合)，则∠BDC等于（）

A、120° B、130° C、140° D、150

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二、填空题

11. 方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的解是．

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12. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 的最小值是．

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13. 如图，正六边形ABCDEF内接于 $⊙ O$ ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为．

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14. 在平面直角坐标系中，把点A（2，1）绕着原点顺时针旋转90°，得到的点B坐标为．

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15. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．

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16. 已知点 $A (a - m, y_{1})$ 、 $B (a - n, y_{2})$ 、 $C (a + b, y_{3})$ 都在二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 的图象上，若 $0 < m < b < n$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是．

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三、解答题

17.

(1)、 ${(x - 5)}^{2} - 9 = 0$

(2)、 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$

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18. 已知抛物线的顶点坐标为 $(1 ， - 2)$ ，且经过点 $(2 ， - 1)$ ，求该抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出该抛物线的图像．

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19. 如图，直线AB经过⊙O上的一点C ，并且OA＝OB ， CA＝CB ，求证：直线AB是⊙O的切线．

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20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A₁OB₁ ．

(1)、画出△A₁OB₁；

(2)、在旋转过程中点B所经过的路径长．

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21. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - k x + k - 1 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一根小于1，求k的取值范围．

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22. 某书店销售儿童书刊，一天可出售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多出售2套．

(1)、若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？

(2)、设书店一天可获利润y元，当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少？

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23. 已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．

(1)、若AB＝AD，求∠ACB的度数；

(2)、连接AC，若AD＝8，AB＝6，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．

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24. 如图，已知，点E在正方形ABCD的BC边上（不与点B，C重合），AC是对角线，过点E作AC的垂线，垂足为G ，连接BG ， DG ．把线段DG绕着G点顺时针旋转，使D点的对应点F点刚好落在BC延长线上，根据题意补全图形．

(1)、证明： $G C = G E$ ；

(2)、连接DF ，用等式表示线段BG与DF的数量关系，并证明．

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25. 已知点 $A (a ， b) (a \geq 2)$ 在抛物线 $C ： y = x^{2} - 2 x + 3$ 上，直线 $L ： y = m x + n$ 过点A ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求b的值；

(2)、若抛物线C与直线L有且只有一个交点．
①求m关于a的关系式；

②点B为直线L与抛物线C的对称轴的交点，求线段AB长的取值范围．

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x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	10	5	2	1	2	…