福建省宁德福鼎市2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$ ，那么 $\frac{a - b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A、对角相等 B、对角线互相垂直 C、对角线相等 D、对边平行

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4. 如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ， B ， C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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5. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（　　）

A、连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次 B、连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次 C、抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上” D、抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5

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6. 如图，四边形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ，且AC⊥BD ，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）

A、AB＝CD B、OA＝OC ， OB＝OD C、AC=BD D、 $A B // C D$ ，AD＝BC

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7. 为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖．老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC ．若△ADC的面积为a ，则△ABC的面积为（）

A、6a B、4a C、 $\frac{7}{2} a$ D、 $\frac{5}{2} a$

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9. 若m是方程 $x^{2} - 2 x - c = 0$ 的一个根，设 $p = {(m - 1)}^{2}$ ， $q = c + 2$ ，则p与q的大小关系为（）

A、p＜q B、p＝q C、p＞q D、与c的取值有关

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10. 如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCF ，连接AD ，则AD长不可能是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

11. 在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，则CD＝．

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12. 方程 $x (x - 3) - 5 (x - 3) = 0$ 的根是．

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13. 在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是．

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14. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为．

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15. 《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美,且早于牛顿140年.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为．

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16. 如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=60°，M、N分别是边BC ， CD上的点，BM=CN ，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为．

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三、解答题

17. 解方程: $x^{2} - 8 x + 5 = 0$

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18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D ， CE⊥AB于E ．求证： $\frac{A D}{C E} = \frac{B D}{B E}$ ．

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19. 在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上．

(1)、以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A₁B₁C₁ ，位似比为1：2．

(2)、在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A₁B₁C₁的中线C₁D₁的位置关系为．

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20. 第七次全国人口普查于2020年11月1日开展，某学校积极响应所在社区的号召，选派部分教师参与普查，其中数学组有4位教师志愿报名，分别记为甲、乙、丙、丁．

(1)、若该校从数学组教师志愿者中抽调1位教师作为普查员，求教师甲被选中的概率．

(2)、若该校从数学组教师志愿者中抽调2位教师作为普查员，请用列表或画树状图的方法，求出教师甲和乙被选中的概率．

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21. 如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F ， H分别在边BC ， AD上．

(1)、当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．

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22. “中秋节”前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元基础上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒．

(1)、在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了a元时，则该超市这款月饼每盒利润为元，预计销售量为盒．

(2)、在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值．

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23. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．

(1)、如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD ， AD∥BC ，当∠ADC=145°时．
求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．

(2)、如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD ，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．

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24. 已知关于x的一元二次方程: $a x^{2} - (4 a + k) x + 4 a + 2 k = 0$ $(a < 0)$ ．

(1)、求证：该方程始终有两个实数根．

(2)、已知该方程有一个固定解，求出这个解．

(3)、若 $- 4 \leq k \leq - 2$ ，设方程两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < n < x_{2}$ ，当整数n至少可取到2个整数，求a的取值范围．

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25. 如图，矩形ABCD对角线AC ， BD相交于O ， OE⊥BC ，垂足为E ．

(1)、求证： $O E = \frac{1}{2} C D$ ．

(2)、若点F是OD的中点，连接EF交OC于点G ，连接AF ．
①求证：GE＝GF ．

②若AF＝EF ，求证：四边形ABCD是正方形．

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