福建省龙岩市永定区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 关于x的方程 $3 x^{2} - 2 m x = 15$ ，有一个根为3，则m的值等于（）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的一个根，则第三边的长是（）

A、2 B、4 C、6 D、2或4

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3. 如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）

A、3≤OM≤5 B、4≤OM≤5 C、3＜OM＜5 D、4＜OM＜5

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4. 下表是满足二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的五组数据， $x = m$ 是方程 $0 = a x^{2} + b x + c$ 的一个解，则下列选项中正确的是（）

x

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

y

-0.80

-0.54

-0.20

0.22

0.2

A、 $1.6 < m < 1.8$ B、 $1.8 < m < 2.0$ C、 $2.0 < m < 2.2$ D、 $2.2 < m < 2.4$

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5. △ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（）

A、80° B、40° C、140° D、40°或140°

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6. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y₁），N（-1，y₂），K（8，y₃）也在二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象上，则下列结论正确的是（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₁＜y₃＜y₂

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8. 已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为（） ${cm}^{2}$

A、π B、2π C、3π D、4π

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9. 四边形 $A B C D$ 四个顶点的坐标分别为 $A (0 ， 4) ， B (3 ， 0) ， C (4 ， y) ， D (4 ， y + 1)$ ，则四边形 $A B C D$ 周长的最小值为（）

A、12 B、 $6 + 2 \sqrt{5}$ C、 $6 + \sqrt{17}$ D、 $6 + \sqrt{34}$

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10. 如图，直角坐标系中两点 $A (0 ， 4) ， B (1 ， 0)$ ，P为线段 $A B$ 上一动点，作点B关于射线 $O P$ 的对称点C ，连接 $A C$ ，则线段 $A C$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{15}$

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二、填空题

11. 方程x²=x的根是．

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12. 边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是．

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13. 某商品成本为50元，由于连续两年降低成本，现为19元．若每年成本降低率相同，设成本降低率为x ，则所列方程为：．

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14. 定义运算： $a * b = 2 a b$ ，若 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个根，则 $(a + 1) * b + 2 a$ 的值为．

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15. 如图， $▱ B C D E$ 的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径 $A B$ 上，连接 $A D$ ，若 $∠ C D E = 68 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为度．

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16. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 a$ 经过 $(- 1 ， 0)$ 和 $(0 ， 3)$ 两点，直线 $y = x + 1$ 与抛物线交于A ， B两点，P是直线 $A B$ 上方的抛物线上一动点，当 $△ A B P$ 的面积最大值时，点P的横坐标为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + 4 x = 3$ ．

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18. 将矩形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转得到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $B^{'}$ 在 $B D$ 上．

求证： $C^{'} D = A B$ ．

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19.
如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} + (2 k - 3) x + k + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 $k$ 的值；如果不存在，请您说明理由．

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21. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A (- 1 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，交y轴于点C ．

(1)、求抛物线的解析式（用一般式表示）；

(2)、若点E在抛物线上，且 $△ B C E$ 是以 $B C$ 为底的等腰三角形，求点E的横坐标．

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22. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， $\overset{⌢}{AC}$ ＝ $\overset{⌢}{C D}$ ＝ $\overset{⌢}{D B}$ ，连接AD ，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E ．

(1)、求证：DE是⊙O的切线．

(2)、若直径AB＝6，求AD的长．

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23. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条.

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

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24.

(1)、如图1， $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $A B$ 上的一点，连接 $B D 、 D E$ ，将 $∠ B D E$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线 $B C$ 交于点 $F$ 和点 $G$ .
①线段 $D B$ 和 $D G$ 的数量关系是 ▲ ；

②写出线段 $B E 、 B F$ 和 $D B$ 之间的数量关系.

(2)、当四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A D C = 60^{\circ}$ ，点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $A B$ 所在直线上的一点，连接 $B D 、 D E$ ，将 $∠ B D E$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线 $B C$ 交于点 $F$ 和点 $G$ .
①如图2，点 $E$ 在线段上时，请探究线段 $B E 、 B F$ 和 $B D$ 之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$ 在线段 $A B$ 的延长线上时， $D E$ 交射线 $B C$ 于点 $M$ ；若 $B E = 1 ， A B = 2$ ，直接写出线段 $G M$ 的长度.

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25. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - m^{2} + 1$ ，直线 $y = x - 2$ 与x轴交于点M ，与y轴交于点N ．

(1)、求证：抛物线与x轴必有公共点；

(2)、若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若线段 $M N$ 与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．

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x	1.6	1.8	2.0	2.2	2.4
y	-0.80	-0.54	-0.20	0.22	0.2