福建省泉州市惠安县第三教研联盟2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列实数中，属于无理数的是（）

A、3.14 B、 $\frac{22}{7}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $π$

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2. 下列算式中，结果等于 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3}$ D、 $a^{10} \div a^{2}$

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3. 计算（x-3）（x+2）的结果是（）

A、 $x^{2} - 6$ B、x²-5x+6 C、x²-x-6 D、x²-5x-6

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4. 估算 $\sqrt{24}$ ＋3的值（）

A、在5和6之间 B、在6和7之间 C、在7和8之间 D、在8和9之间

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5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ B、 $x^{2} - 4 + 3 x = (x + 2) (x - 2) + 3 x$ C、 $x^{2} + 4 x y - x = x (x + 4 y)$ D、 $a^{2} - 1 = (a + 1) (a - 1)$

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6. 现规定一种运算： $a ※ b = a b + a - b$ ，其中 $a$ ， $b$ 为实数，则 $\sqrt{16} ※ \sqrt[3]{- 8}$ 等于（）

A、-2 B、-6 C、2 D、6

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7. 若 $(x + p) (x - q)$ 的结果不含 $x$ 的一次项，则 $p$ ， $q$ 应满足（）

A、 $p = 0$ B、 $q = 0$ C、 $p = q$ D、 $p + q = 0$

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8. 从边长为 $a$ 的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} + a b = a (a + b)$

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9. 已知 $a = 81^{31} ， b = 27^{41} ， c = 9^{61} ，$ 则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $a < b < c$ D、 $b > c > a$

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10. 有一个数值转换器，流程如下：

当输入的 $x$ 为256时，输出的 $y$ 是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{8}$

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二、填空题

11. $\sqrt{16}$ 的平方根是．

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12. 比较大小： $\sqrt{10}$ 3．（填“＞”、“=”或“＜”）

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13. 为了使 $x^{2} + 3 x$ 成为一个整式的完全平方式，加上一个实数为

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14. 若多项式与单项式 $2 a^{2} b$ 的积是 $6 a^{3} b - 2 a^{2} b^{2}$ ，则该多项式为．

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15. 若 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y = - 13$ ，则 $x + y =$ ．

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16. 已知 $a \geq 0$ 时， $\sqrt{a^{2}} = a$ ．请你根据这个结论直接填空：

(1)、 $\sqrt{9} =$ ；

(2)、若 $x + 1 = 2020^{2} + 2021^{2}$ ，则 $\sqrt{2 x + 1} =$

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $20 \times \sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt[3]{- 27}$

(2)、 $6 a^{6} b^{4} \div 3 a^{3} b^{4} + a^{2} \cdot (- 5 a)$

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18. 分解因式：

(1)、 $3 a^{2} - 27$

(2)、 $2 a x^{2} - 4 a x + 2 a$

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19. 先化简，再求值： $(2 x + 1) (2 x - 1) - x (4 x - 3)$ ，其中x=-2.

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20. 已知 $x - 2 y = 3$ ， $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} = 13$ .求下列各式的值：

(1)、 $x y$ .

(2)、 $x^{2} y - 2 x y^{2}$ .

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21. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\sqrt{2 x + 3 y - 1} + | x - 3 y - 5 | = 0$ ，

(1)、求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、求 $4 x - y$ 的平方根．

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22. 规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果 $a^{c} = b$ ，那么（a，b）=c.
例如：因为 $2^{3} = 8$ ，所以（2，8）=3.

(1)、根据上述规定，填空：
（5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，-8）=；

(2)、小明在研究这种运算时发现一个现象： $(3^{n}, 4^{n}) = (3, 4)$ ，他给出了如下的证明：
设 $(3^{n}, 4^{n}) = x$ ，则 ${(3^{n})}^{x} = 4^{n}$ ，即 ${(3^{x})}^{n} = 4^{n}$

∴ $3^{x} = 4$ ，即 $(3, 4) = x$ ，

∴ $(3^{n}, 4^{n}) = (3, 4)$ .

请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由.

(4，5)＋(4，6)=(4，30)

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23. 如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

(1)、图2中的阴影部分的面积为；

(2)、观察图2请你写出（a+b）²、（a-b）²、ab之间的等量关系是；

(3)、根据（2）中的结论，若x+y=7，xy= $\frac{45}{4}$ ，则x-y= ；

(4)、实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等式．

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24. 南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米．

(1)、请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简．

(2)、现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x，y的值；

②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：

C

D

投入(元/米²)

12

16

收益(元/米²)

18

26

求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入)

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25. 已知 $a + b = 1$ ， $a b = - 1$ ．设 $S_{1} = a + b$ ， $S_{2} = a^{2} + b^{2}$ ， $S_{3} = a^{3} + b^{3}$ ，…， $S_{n} = a^{n} + b^{n}$ ．

(1)、计算 $S_{2}$ ；

(2)、请阅读下面计算 $S_{3}$ 的过程：
$a^{3} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + (b^{2} a - b^{2} a) + (a^{2} b - a^{2} b)$

$= (a^{3} + b^{2} a) + (b^{3} + a^{2} b) - (b^{2} a + a^{2} b)$

$= (a^{2} + b^{2}) a + (a^{2} + b^{2}) b - a b (b + a)$

$= (a + b) (a^{2} + b^{2}) - a b (a + b)$

$∵ a + b = 1$ ， $a b = - 1$ ，

$∴ S_{3} = a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + b^{2}) - a b (a + b) = 1 \times S_{2} - (- 1) \times 1 = S_{2} + 1 =$ ．

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 $S_{3}$ 的计算结果，再计算 $S_{4}$ ；

(3)、猜想并写出 $S_{n - 2}$ ， $S_{n - 1}$ ， $S_{n}$ 三者之间的数量关系（不要求证明），根据得出的数量关系计算 $S_{9}$ ．

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	C	D
投入(元/米²)	12	16
收益(元/米²)	18	26