山东省日照市五莲县2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，向量 $\vec{b} = (2 ， 0 ， k)$ ，且满足向量 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $k$ 等于（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. 点(0，﹣1)到直线 $y = k (x + 1)$ 距离的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知向量 $\vec{n} = (2 ， 0 ， 1)$ 为平面 $α$ 的法向量，点 $A (- 1 ， 2 ， 1)$ 在 $α$ 内，则点 $P (1 ， 2 ， 2)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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4. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上， $C$ 的面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8．则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{3} = 1$

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5. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 1$ ，则点C的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、直线

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6. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，对角线 $A C_{1}$ 和 $B D_{1}$ 相交于点 $O$ ，则（）．

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A_{1} C_{1}} = 2 a^{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C_{1}} = \sqrt{2} a^{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = \frac{1}{2} a^{2}$ D、 $\vec{B C} \cdot \vec{D A_{1}} = a^{2}$

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7. 台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（）

A、0.5h B、1h C、1.5h D、2h

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是C的右支上一点，连接 $P F_{1}$ 与y轴交于点M，若 $| F_{1} O | = 2 | O M |$ （O为坐标原点）， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ ： $x - 2 y - 2 = 0$ .（）

A、直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 与直线 $l$ 平行 B、直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l$ 平行 C、直线 $2 x + y - 2 = 0$ 与直线 $l$ 垂直 D、直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $l$ 垂直

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10. 已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ .（）

A、若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若m=n>0，则C是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若m=0，n>0，则C是两条直线

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A_{1} D_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} C_{1}$ //平面 $C E F$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $C E F$ C、 $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{D A} + \vec{D D_{1}} - \vec{D C}$ D、点 $D$ 与点 $B_{1}$ 到平面 $C E F$ 的距离相等

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12. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $f (5) = 30.5$ 分别为左、右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为上、下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A、 $| A_{1} F_{1} | \cdot | F_{2} A_{2} | = {| F_{1} F_{2} |}^{2}$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O // A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$

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三、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 的准线方程是．

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14. 已知向量 $\vec{O A} = (k ， 12 ， 1)$ ， $\vec{O B} = (4 ， 5 ， 1)$ ， $\vec{O C} = (- k ， 10 ， 1)$ ，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，则 $k$ = ．

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15. 已知F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

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16. 2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： $Q (0 ， - 3)$ 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在 $x$ 轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d= ．

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x - y - 3 = 0$ 和 $4 x - 3 y - 5 = 0$ 的交点，且与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 过点 $(1 ， 0)$ ，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $l$ 被该圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求圆 $C$ 的标准方程.

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18. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $E$ 为棱 $A B$ 的中点， $F$ 为线段 $D_{1} C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $A D_{1}$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过椭圆C右焦点F作直线交椭圆C于点M，N，又直线 $O M$ 交直线 $x = 2$ 于点T，若 $\vec{O T} = 2 \vec{O M}$ ，求线段 $M N$ 的长.

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20. 已知点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，曲线 $C$ 任意一点 $P$ 满足 $| P B | = 2 | P A |$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $D (3 ， 0)$ ，问是否存在过定点 $Q$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同两点 $E ， F$ ，无论直线 $l$ 如何运动， $x$ 轴都平分 $∠ E D F$ ，若存在，求出 $Q$ 点坐标，若不存在，请说明理由.

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21. 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ，EF=2.

(1)、求证：AE∥平面DCF；

(2)、当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°?

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22. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点重合，点 $M$ 是抛物线 $C$ 的准线上任意一点，直线 $M A$ ， $M B$ 分别与抛物线 $C$ 相切于点 $A$ ， $B$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、求 $| A B |$ 的最小值.

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