山东省临沂市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 1 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 1)$ C、 $(\pm \sqrt{7} ， 0)$ D、 $(0 ， \pm \sqrt{7})$

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2. 过点 $(2 ， - 1)$ 且方向向量为 $(1 ， 2)$ 的直线的方程为（）

A、 $2 x - y + 5 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x + y + 5 = 0$

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3. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} + \vec{B_{1} C_{1}} + \vec{D D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A_{1} C}$ B、 $\vec{A C_{1}}$ C、 $\vec{B_{1} D}$ D、 $\vec{B D_{1}}$

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4. 若直线 $2 x + b y - 4 = 0$ 平分圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的周长，则 $b$ 的值为（）

A、2 B、－2 C、－3 D、3

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5. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有 $8$ 根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为 $60^{\circ}$ .已知礼物的质量为 $1 kg$ ，每根绳子的拉力大小相同.若重力加速度 $g$ 取 $9.8 {m/s}^{2}$ ，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）

A、 $2.25 N$ B、 $2.45 N$ C、 $2.5 N$ D、 $2.75 N$

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6. 已知两点 $A (1 ， - 2)$ 、 $B (2 ， 1)$ ，直线 $l$ 过点 $P (0 ， - 1)$ 且与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$

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7. 设 $M$ 是圆 $P$ ： $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 36$ 上的一动点，定点 $Q (0 ， 2)$ ，线段 $M Q$ 的垂直平分线交线段 $P M$ 于 $N$ 点，则 $N$ 点的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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8. 在一个平面上，机器人从与点 $C (1 ， - 4)$ 的距离为5的地方绕点 $C$ 顺时针而行，在行进过程中保持与点 $C$ 的距离不变.它在行进过程中到过点 $A (- 6 ， 0)$ 与 $B (0 ， 8)$ 的直线的最近距离为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $y = a x - 2 a + 1$ 必过定点（2，1） B、直线 $3 x - 2 y + 4 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距为－2 C、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为120° D、若直线 $l$ 沿 $x$ 轴向左平移3个单位长度，再沿 $y$ 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线 $l$ 的斜率为 $- \frac{2}{3}$

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10. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ， $A A_{1} = 3$ ，以直线 $D A$ ， $D C$ ， $D D_{1}$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，则（）

A、点 $B_{1}$ 的坐标为 $(5 ， 4 ， 3)$ B、点 $C_{1}$ 关于点 $B$ 对称的点为 $(8 ， 5 ， - 3)$ C、点 $A$ 关于直线 $B D_{1}$ 对称的点为 $(0 ， 5 ， 3)$ D、点 $C$ 关于平面 $A B B_{1} A_{1}$ 对称的点为 $(8 ， - 5 ， 0)$

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11. 若圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 3 x - 3 y + 3 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x - y + 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ D、在过 $A$ ， $B$ 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 $C_{1}$

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12. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $P$ 处变轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点处第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ ，半焦距分别为 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{1} + c_{1} > 2 (a_{2} + c_{2})$ B、 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ C、 $e_{1} = \frac{e_{2} + 1}{2}$ D、椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， y ， 9)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x + y =$ .

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14. 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点 $P (3 ， 0)$ ，且长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，则其标准方程为.

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15. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3$ ，从点 $P (- 1 ， - 3)$ 发出的光线，经直线 $y = x + 2$ 反射后，恰好经过圆心 $C$ ，则入射光线的斜率为.

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四、双空题

16. 某圆拱桥的水面跨度为 $24 m$ ，拱高 $8 m$ ，此拱桥所在圆的半径为 $m$ ；现有一船，宽 $10 m$ ，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过 $m$ .

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五、解答题

17. 已知直线 $l$ 过定点 $A (2 ， 1)$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程.

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18. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A B$ 的中点.

(1)、求直线 $F C$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面 $E F C C_{1}$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 已知直线 $l$ ： $x - y + 1 = 0$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ .

(1)、若直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长；

(2)、求过点 $(4 ， - 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程.

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20. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上.由椭圆一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ .已知 $B F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $| F_{1} B | = \frac{5}{3}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ .

(1)、试建立适当的坐标系，求截口 $B A C$ 所在的椭圆的方程；

(2)、如图，若透明窗 $D E$ 所在的直线与截口 $B A C$ 所在的椭圆交于一点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A D = A P = 4$ ， $A B = B C = 2$ ， $M$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求异面直线 $P D$ 与 $B M$ 所成角的余弦值；

(2)、点 $N$ 在线段 $A D$ 上，当 $A N$ 为何值时，直线 $M N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ？

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 且不平行于坐标轴的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求 $△ A F_{1} B$ 的周长；

(2)、椭圆 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 到直线 $m$ ： $x + 2 y - 10 = 0$ 的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由.

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