山东省聊城市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若直线过两点 $(- 1, 1)$ ， $(2, 1 + \sqrt{3})$ ，则此直线的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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2. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则能使 $l // α$ 的是（）

A、 $\vec{m} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{n} = (1, 0, 1)$ B、 $\vec{m} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{n} = (0, 3, 0)$ C、 $\vec{m} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{n} = (- 2, 2, 2)$ D、 $\vec{m} = (0, 2, 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, 0, - 1)$

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3. 已知直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 与直线 $2 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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4. 某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件 $M$ 为“至少有2名女生参加演讲”，则下列事件中与事件 $M$ 对立的是（）

A、恰有2名女生参加演讲 B、至多有2名男生参加演讲 C、恰有1名女生参加演讲 D、至多有2名女生参加演讲

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5. 在四面体 $O A B C$ 中，空间的一点 $O M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + λ \vec{O C}$ ，若 $\vec{M A}$ ， $\vec{M B}$ ， $\vec{M C}$ 共面，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{7}{12}$

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6. 经统计某射击运动员随机命中的概率可视为 $\frac{3}{10}$ ，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，5550

0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281

根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{20}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 排球比赛的规则是2局3胜制（2局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 $\frac{3}{4}$ ，前2局中乙队以 $2 : 0$ 领先，则最后乙队获胜的概率是（）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{19}{27}$ C、 $\frac{40}{64}$ D、 $\frac{37}{64}$

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二、多选题

9. 空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A、点 $P (1, 2, 3)$ 关于坐标平面 $x O y$ 的对称点的坐标为 $(- 1, 2, - 3)$ B、点 $Q (1, 0, 2)$ 在平面 $x O z$ 面上 C、 $z = 1$ 表示一个与坐标平面 $x O y$ 平行的平面 D、 $2 x + 3 y = 6$ 表示一条直线

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10. 点 $P$ 在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为0 B、 $| P Q |$ 的最大值为7 C、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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11. 先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为 $a$ ，第二次出现的点数记为 $b$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a + b = 7$ 时概率为 $\frac{1}{6}$ B、 $a + b = 6$ 时概率为 $\frac{1}{5}$ C、 $a \geq 2 b$ 时的概率为 $\frac{1}{6}$ D、a+b是3的倍数的概率是 $\frac{1}{3}$

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12. 已知事件 $A$ ， $B$ ，且 $P (A) = 0.6$ ， $P (B) = 0.3$ ，则下列结论正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.6$ ， $P (A B) = 0.3$ B、如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.9$ ， $P (A B) = 0$ C、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (A \cup B) = 0.9$ ， $P (A B) = 0$ D、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.28$ ， $P (\bar{A} B) = 0.12$

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三、填空题

13. 设直线 $l_{1} : a x + 3 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + (a - 2) y + 4 = 0$ .当 $a =$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．

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14. 已知甲、乙两球落人盒子的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{1}{3}$ ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．

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15. 若曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 2 a x + 4 a y + 5 a^{2} - 16 = 0$ 上所有的点均在第二象限内，则 $a$ 的取值范围是．

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四、双空题

16. 若 $O$ 为空间直角坐标系的原点，则以 $O$ 为球心，且与平面 $x + y + z = 1$ 相切的球的方程是，切点的坐标为．

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五、解答题

17. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 垂直；②直线的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ；③与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 平行．已知直线 $l$ 过点 $P (1, - 2)$ ，______．

(1)、求直线 $l$ 的一般方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于 $P$ 、 $Q$ ，求弦长 $| P Q |$ ．

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18. 某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为 $\frac{7}{16}$ ，小华同学获得一次摸奖机会．

(1)、求他不能中奖的概率；

(2)、若该同学中一等奖或二等奖的概率是 $\frac{1}{4}$ ，试计算黄球的个数．

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19. 如图所示，已知空间四边形 $A B C D$ 的每条边和对角线都等于1，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为空间向量的一组基底， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，试用基底向量法求解以下各题．求：

(1)、 $\vec{E F} \cdot \vec{A B}$ ；

(2)、求异面直线 $C F$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

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20. 某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 $\frac{5}{6}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{5}$ ，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ，所有考试是否合格相互之间没有影响．

(1)、假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？

(2)、这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．

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21. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = A C = B C = 4$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(2)、在棱 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ，使得平面 $P A B$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成二面角为 $45 °$ ？若存在，求出 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $P$ 为直线 $l : x + y - 8 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ．

(1)、若点 $P$ 的坐标为 $(2, 6)$ ，求直线 $P A$ 、 $P B$ 的方程；

(2)、求证：直线 $A B$ 恒过定点 $Q$ ，并求出该定点 $Q$ 的坐标．

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