山东省肥城市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若直线 $l$ 的倾斜角 $α = 45 °$ ，则其斜率 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $E$ 是 $C C^{'}$ 的中点，下列结论中错误的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A A^{'}} = \vec{B A^{'}}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ D、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C C^{'}} = \vec{A E}$

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3. 圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 的圆心和半径分别是（）

A、 $(- 2, 3)$ ， $\sqrt{5}$ B、 $(2, - 3)$ ， $\sqrt{5}$ C、 $(- 2, 3)$ ，5 D、 $(2, - 3)$ ，5

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4. 已知直线 $l$ ： $y = \sqrt{3} x - 2$ ，则直线 $l$ 经过哪几个象限（）

A、一、二、三象限 B、一、二、四象限 C、二、三、四象限 D、一、三、四象限

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5. 若两异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{n_{1}} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $\vec{n_{2}} = (0 ， - 1 ， 1)$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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6. 已知 $A (2, 5)$ 、 $B (4, 1)$ ，若点 $P (x, y)$ 在线段 $A B$ 上，则 $2 x - y$ 的最小值为（）

A、-1 B、3 C、7 D、8

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7. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D$ ，点 $O$ 为空间内任意一点， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，向量 $\vec{O D} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 分别是（）

A、1、-1、2 B、 $- \frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、1 C、 $\frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{2}$ 、1 D、 $\frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{2}$ 、-1

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8. 圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则两圆公共弦的弦长 $| A B |$ 为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$

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二、多选题

9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A、两条不重合直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (2, 3, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 3, 1)$ ，则 $l_{1} // l_{2}$ B、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l // α$

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10. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ P A B$ 面积的可能取值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、6

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥ E G$ B、 $G C // E D$ C、 $B_{1} F ⊥$ 平面 $B G C_{1}$ D、 $E F$ 和 $B B_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (- 4, 2)$ ， $B (2, 2)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = 2$ ，设点 $P$ 的轨迹为圆 $C$ ，下列结论正确的是（）

A、圆 $C$ 的方程是 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ B、过点 $A$ 向圆 $C$ 引切线，两条切线的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、过点 $A$ 作直线 $l$ ，若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 距离为2，该直线斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、在直线 $y = 2$ 上存在异于 $A$ ， $B$ 的两点 $D$ ， $E$ ，使得 $\frac{| P D |}{| P E |} = 2$

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三、填空题

13. 平面 $α$ 的法向量是 $\vec{n} = (- 2, - 2, 1)$ ，点 $A (- 1, 3, 0)$ 在平面 $α$ 内，则点 $P (- 2, 1, 4)$ 到平面 $α$ 的距离为.

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14. 已知两条平行直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - 4 y + c = 0$ 间的距离为3，则 $c$ 的值为.

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15. 如图，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = B C = 6$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，则线段 $P C$ 长为.

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16. 已知点 $M$ 是直线 $l$ ： $y = - 2 x - 2$ 上的动点，过点 $M$ 作圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 的切线 $M A$ ， $M B$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，则当四边形 $M A C B$ 的面积最小时，直线 $A B$ 的方程为.

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四、解答题

17. 求经过直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 5 = 0$ ， $l_{2} : 2 x - 3 y + 8 = 0$ 的交点 $M$ ，且满足下列条件的直线的方程.

(1)、经过点 $P (1, 3)$ ；

(2)、与直线 $2 x + y + 5 = 0$ 平行.

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18. 已知空间中的三点 $P (- 2, 0, 2)$ ， $M (- 1, 1, 2)$ ， $N (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{P M}$ ， $\vec{b} = \vec{P N}$ .

(1)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；

(2)、求点 $N$ 到直线 $P M$ 的距离.

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19. 条件①：图（1）中 $\tan B = 2$ .条件②：图（1）中 $3 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ .条件③：图（2）在三棱锥 $A - B C D$ 的底面 $B C D$ 中， $C D > B D$ ， $S_{△ B C D} = 1$ .从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答.

如图（1）所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ， $B C = 3$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足 $D$ 在线段 $B C$ 上，沿 $A D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $∠ B D C = 90 °$ （如图（2）），点 $M$ 为棱 $A C$ 的中点.已知_________，在棱 $C D$ 上取一点 $N$ ，使得 $C N = 3 D N$ ，求锐二面角 $M - B N - C$ 的余弦值.

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20. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 3)$ ，直线 $l$ ： $y = 2 x - 4$ .圆 $C$ 的半径为1，圆心 $C$ 在直线 $l$ 上.

(1)、若直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 与圆 $C$ 相切，求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知动点 $M (x, y)$ ，满足 $| M A | = 2 | M O |$ ，说明 $M$ 的轨迹是什么？若点 $M$ 同时在圆 $C$ 上，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

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21. 如图所示多面体中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为线段 $B P$ 上一点， $∠ C D P = 120 °$ ， $A D = 3$ ， $A P = 5$ ， $C D = 2$ .

(1)、若 $F$ 为 $B P$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若 $B F = \frac{1}{3} B P$ ，求直线 $A F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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22. 已知点 $A$ ， $B$ 关于原点 $O$ 对称，点 $A$ 在直线 $x + y = 0$ 上， $| A B | = 2$ ，圆 $M$ 过点 $A$ ， $B$ 且与直线 $x + 1 = 0$ 相切，设圆心 $M$ 的横坐标为 $a$ .

(1)、求圆 $M$ 的半径；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，当 $a < 2$ 时，作直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，已知直线 $l$ 不经过点 $P$ ，且直线 $P M$ ， $P N$ 斜率之和为 $- 1$ ，求证：直线 $l$ 恒过定点.

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