河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期理数11月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $\lg (x_{0} + 1) > 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $\lg (x_{0} + 1) \leq 1$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ， $\lg (x_{0} + 1) > 1$ C、 $\forall x > 0$ ， $\lg (x + 1) \leq 1$ D、 $\forall x > 0$ ， $\lg (x + 1) > 1$

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2. 已知集合 $M = {x | \lg x < 1}$ ， $N = {x | - 3 x^{2} + 5 x + 12 < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(0 ， 10)$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $(3 ， 10)$

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3. 设 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，若 $| P F_{1} | = 5$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、9 C、3或7 D、1或9

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 c$ ， $\cos C = \frac{\sqrt{40}}{7}$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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5. 已知 $x > 1$ ， $- 1 < y < 0$ ， $a = x - y$ ， $b = x + y^{2}$ ， $c = x^{2} - y$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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6. “ $x > \log_{2} 3$ ”是“ $x > \frac{3}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 现有下面三个命题（）
$p_{1} ：$ 常数数列既是等差数列也是等比数列；

$p_{2} ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} \leq 0$ ；

$p_{3} ：$ 椭圆离心率可能比双曲线的离心率大.

下列命题中为假命题的是（）

A、 $p_{1} \lor p_{2}$ B、 $(\neg p_{1}) \lor (\neg p_{3})$ C、 $(\neg p_{1}) \land p_{3}$ D、 $(\neg p_{2}) \lor (\neg p_{3})$

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8. 已知 $a < b$ ，则 $\frac{b - a + 1}{b - a} + b - a$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、4 D、1

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9. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 3$ ， $A B = 5$ ， $A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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10. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前20项和为（）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2 \times 3^{19}}$ B、 $\frac{7}{4} - \frac{1}{4 \times 3^{19}}$ C、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2 \times 3^{18}}$ D、 $\frac{7}{4} - \frac{1}{4 \times 3^{18}}$

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11. 过点 $P (- 2 ， 0)$ 的直线与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $| P A | = \frac{1}{2} | A B |$ ，则点 $A$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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12. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，定点 $M (\frac{14 a^{2}}{9 c} ， 0)$ ，若椭圆 $C$ 上存在点 $N$ ，使得 $Δ F M N$ 为等腰钝角三角形，则椭圆 $C$ 的离心率的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (t ， 12 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， t + 2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为.

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14. 已知变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x ⩾ 1 \\ x - y ⩽ 0 \\ 3 x + y - 6 ⩽ 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值是.

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15. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ，且 $1 + a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $4 + a_{10}$ 成等比数列，则公差 $d =$ ．

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16. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线 $C$ 的左支于 $M ， N$ 两点，若 $| M F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $2 | M F_{1} | = | N F_{1} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{3 c - a}{b} = \frac{\cos A - 3 \cos C}{\cos B}$ .

(1)、求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ 的值；

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{6}$ ， $b = 2$ ，求 $c$ 的值.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $B D E F$ 所成的角的正弦值.

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上一点 $M (\frac{7}{2} ， t)$ 到焦点 $F$ 的距离是点 $M$ 到直线 $x = p$ 的距离的3倍，过 $F$ 且倾斜角为 $45 °$ 的直线与抛物线 $C$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点．
（Ⅰ）求 $p$ 的值；

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A P = A B$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、求平面 $P A E$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的正弦值.

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21. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2} a_{1}$ ，且 $a_{1} - 5$ ， $a_{3} + 5$ ， $a_{4} - 15$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4 \log_{3} a_{n} - 1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 和 $T_{n}$ .

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $(0 ， \frac{1}{2})$ ，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设斜率存在的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点， $O$ 为坐标原点， $O P ⊥ O Q$ ，且 $l$ 与圆心为 $O$ 的定圆 $W$ 相切.直线 $l'$ ： $y = - x + n$ （ $n \neq 0$ ）与圆 $W$ 交于 $M ， N$ 两点， $G (3 ， - 3)$ .求 $△ G M N$ 面积的最大值.

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