河南省开封市2020-2021学年高二上学期理数五县联考期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{5} = - 5$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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2. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $\sin A = \frac{1}{6}$ ，则 $\sin B$ =（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 双曲线 $C$ 与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有共同的渐近线，且 $C$ 过点（2，0），则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $\cos A = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5. 已知m＞0，则“m=3”是“椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{5}$ =1的焦距为4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} - 2 x + y \leq 4 ， \\ 4 x + 3 y \leq 12 ， \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、1 C、-2 D、 $\frac{11}{2}$

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7. 若双曲线 $m x^{2} + 2 y^{2} = 2$ 的虚轴长为 $2$ ，则该双曲线的焦距为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上任一点 $P$ 到点 $Q (1, 0)$ 的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，若 $\cos 2 A = \cos 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、不能确定

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{6 n - 1}{3 n - 1}$ ，则 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ =（）

A、 $\frac{2 n + 3}{n + 1}$ B、 $\frac{10 n - 5}{5 n - 3}$ C、 $\frac{8 n - 3}{4 n - 2}$ D、 $\frac{12 n - 7}{6 n - 4}$

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11. 过双曲线Ω： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b＞0)的右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（）

A、(1,3) B、(3，＋∞) C、(1, $2 \sqrt{3}$ ) D、( $2 \sqrt{3}$ ，＋∞)

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12. 已知命题 $p$ ： $4^{m} + 2^{2 + \sqrt{2}} < (4 + 2^{\sqrt{2}}) \times 2^{m}$ ，命题 $q$ ：函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} - m x + 1$ 在区间 $(- \infty, \frac{3}{2})$ 上单调递减.若命题“ $p$ 且 $q$ ”为假，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \sqrt{2}] \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(\sqrt{2}, 2)$ C、 $(- \infty, 1] \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2}] \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$

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二、填空题

13. 命题 $p : \forall x \geq 0, x + \sqrt{x} \geq 0$ 的否定是.

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14. 已知 $a$ ， $b$ 均为正实数，且 $a + 2 b = 3$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{6}{b}$ 的最小值为.

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15. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 3$ ，且 $S_{3}, 2 S_{2}, 3 S_{1}$ 成等差数列，则 $a_{n} =$ .

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16. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $A$ 关于原点的对称点为 $B$ ， $F$ 为其右焦点，若 $A F ⊥ B F$ ，设 $∠ A B F = θ$ ，且 $θ \in [\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12}]$ ，则该椭圆离心率的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{2} = 8 ， a_{3} + a_{4} = 48$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

$($ Ⅱ $)$ 设 $b_{n} = {log}_{4} a_{n} .$ 证明： ${b_{n}}$ 为等差数列，并求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{7} = 13$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $S_{n^{2}} = {(S_{n})}^{2}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a b = c^{2} - a^{2} - b^{2}$

(1)、求角C；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $c = 2 \sqrt{7}$ 求a、b的值．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{1}$ ，点 $P$ 为精圆 $C$ 上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}$ ， $| P F_{1} | = 2 + \sqrt{3}, | P F_{2} | = 2 - \sqrt{3}$ |

(1)、求椭圆的方程 $C$ 方程；

(2)、求点 $P$ 的坐标.

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 60$ ， $S_{10} = 245$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 如图，在平面直标 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\sqrt{2} ， - \frac{\sqrt{6}}{2}) ， (- \sqrt{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点 $O$ ，求平行四边形ABCD面积S的最大值；

(3)、在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点 $O$ 到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.

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