浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {2, 3}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1, 3, 4}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、{4} D、 ${2, 4}$

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2. 已知 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，则函数 $y = \cos x + \frac{4}{\cos x}$ （）

A、有最小值4 B、有最大值4 C、无最小值 D、有最大值 $+ \infty$

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (4, - 1)$ ，且 $\vec{a} // \vec{c}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ 则 $x =$ （）

A、4 B、-4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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4. 函数 $f (x) = x - \frac{2}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 要得到函数 $y = \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 2$ 的图象只需将函数 $y = \sqrt{3} \cos (2 x - \frac{π}{2})$ 的图象（）

A、先向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再向下平移2个单位长度 B、先向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再向上平移2个单位长度 C、先向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再向下平移2个单位长度 D、先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再向上平移2个单位长度

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6. 给出下列四组函数：① $y = 2 | x | (x \in R)$ ， $s = 2 \sqrt{t^{2}} (t \in R)$ ；② $y = | x | (- 1 \leq x \leq 1)$ ， $u = v^{2} (- 1 \leq v \leq 1)$ ；③ $y = x (x \in {- 1, 0, 1})$ ， $m = n^{3} (n \in {- 1, 0, 1})$ ；④ $y = 2 x (x \in {0, 1})$ ， $y = 2 | x - 1 | (x \in {0, 1})$ .其中，表示相同函数的组的序号是（）

A、①③④ B、①② C、①③ D、①

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7. 设 $(a ， b) \in {(x ， y) | x - 3 y + 1 \geq 0$ ，且 $x + y - 3 \leq 0 ， x ， y \in R}$ ，则 $2 b - a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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8. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递增，且 $f (2) = 1$ ，则不等式 $| f (x) | \leq 1$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

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9. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $y$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，若 $B$ 为圆上的一动点， $O$ 为坐标原点则 $\vec{O A} \cdot \vec{B A}$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 2]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[- 1, 1]$

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10. 公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ${a_{n}}$ ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \in N^{*}, n > 2)$ ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列 ${a_{n}}$ 的各项除以2后的余数构成一个新数列 ${b_{n}}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $T_{n}$ ；若数列 ${a_{n}}$ 满足： $c_{n} = a_{n + 1}^{2} - a_{n} a_{n + 2}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $T_{2020} + S_{2020} =$ （）

A、1348 B、1347 C、674 D、673

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二、填空题

11. 已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{2}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则 $θ$ 是（填：“锐角”，“钝角”，“直角”之一），且 $\sin 2 θ =$ .

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12. 设 $a = \log_{2} 3$ ，则 $4^{a} =$ （用数值表示）， $\frac{\lg 36}{\lg 4} =$ .（用 $a$ 表示）

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3, x \leq 2, \\ f (x - 2), x > 2, \end{array}$ 则 $f (- 1) =$ ， $f (2021) =$ .

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14. 已知 $a, b \in R$ ，且 $\frac{a + b}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1}} = 2$ ，则a+b的最大值为，最小值为.

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 20$ ， $a_{5} = 18$ ，则 $S_{20} =$ .

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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17. 已知集合 $A = {x | x = 2 k - 1, k \in N^{*}}$ ， $B = {x | x = 3 k - 2, k \in N^{*}}$ ，则 $A \cap B =$ .（用集合的描述法表示）

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三、解答题

18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $4 \sin^{2} A + 4 \cos A = 5$ .
（Ⅰ）求角 $A$ ；

（Ⅱ）若 $\frac{a}{b - c} = 2 \sin A$ ，求角 $B$ ， $C$ .

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19. 已知平面向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 \sin (x - \frac{π}{6}))$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + 2$ .
（Ⅰ）求函数 $| f (x) |$ 的最小正周期；

（Ⅱ）若不等式 $λ - 1 < f (x) < λ + 1$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20. 设函数 $f (x) = x | x + 2 k | + 2 x$ ， $k \in R$ .
（Ⅰ）当 $k = - 1$ 时，解不等式 $f (x) > 3$ ；

（Ⅱ）若对任意 $x \in [1 ， 2]$ 时，直线 $y = 2 x + 1$ 恒在曲线 $y = f (x)$ 的上方，求 $k$ 的取值范围.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 9 n - 6$ .
（Ⅰ）问是否存在实数 $x$ ， $y$ ，使得数列 ${a_{n} + x n + y}$ 是等比数列？若存在，求出 $x$ ， $y$ 的值，若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）设 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} i (a_{i} + 3 i)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 2 a x}{x^{2}} - a \ln x$ （ $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅲ）若 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 内存在两个极值点，求 $a$ 的取值范围.

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