浙江省温州市新力量联盟2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线l： $\sqrt{3}$ x+y﹣3＝0的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、90°

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2. 若水平放置的四边形 $A O B C$ 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 $A^{'} C^{'} // O^{'} B^{'}$ ， $A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ ， $A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ， $O^{'} B^{'} = 2$ ，则原四边形 $A O B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3} + \lg (4 - x)$ 的定义域是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 3) \cup (3, 4]$ D、 $[2, 3) \cup (3, 4)$

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4. 关于直线 $m$ ， $n$ ， $l$ 及平面 $α$ ， $β ， λ$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m // n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $α ⊥ λ$ ， $β ⊥ λ$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m // β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、-5 D、-6

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (ω x + φ) (x \in R ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω$ 的值是（）

A、4 B、2 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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7. 刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、8 D、16

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8. 若动点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 分别在直线 $l_{1} ： x + y - 7 = 0$ 和 $l_{2} ： x + y - 5 = 0$ 上移动，则 $A B$ 中点 $M$ 到原点距离的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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10. 平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 满足 $| \vec{e} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e} = 1$ ， $\vec{b} \cdot \vec{e} = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、2

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二、填空题

11. 设两直线 $l_{1} : (3 + m) x + 4 y = 5 - 3 m$ 与 $l_{2} : 2 x + (5 + m) y = 8$ .若 $l_{1} // l_{2}$ ,则 $m =$ ,若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ,则 $m =$ ．

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12. 函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期为；若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， α)$ 上单调递增，则 $α$ 的最大值为.

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13. 设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列．若 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = π$ ，则 $\cos (a_{2} + a_{8}) =$ ；若 $b_{n} > 0$ ，且 $b_{5} b_{6} + b_{4} b_{7} = 4$ ，则 $b_{1} b_{2} \dots b_{10} =$ ．

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影是， $| \vec{a} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值是．

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15. 如图，圆锥的底面直径 $A B = 2$ ，母线长 $V A = 3$ ，点 $C$ 在母线 $V B$ 上，且 $V C = 1$ ，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 $A$ 到达点 $C$ ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是．

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 4 | + a | x + 2 |$ ， $x \in [- 4 ， 4]$ ．若 $f (x)$ 的最大值是0，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17. 已知一个三棱锥 $P - A B C$ ， $P A = P B = B C = A C = 4$ ， $P C = A B = 3$ ，则它的外接球的表面积为.

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三、解答题

18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b^{2} + (c - b) c = a^{2}$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积等于 $5 \sqrt{3}$ ， $b = 5$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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19. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = 6$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的取值范围．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C － A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ 和 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若 $A A_{1} ＝ 3$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角．

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21. 已知直线 $l$ ： $k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ ．

(1)、已知点 $P (1, 5)$ ，若点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求 $d$ 的最大值并求此时直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于 $B$ ，求 $△ A O B$ 的面积的最小值并求此时直线 $l$ 的方程．

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22. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ ．

(1)、证明：在侧棱 $A A_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，并求出 $A E$ 的长；

(2)、求：平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值．

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