浙江省温州十五校联合体2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（）

A、椭圆 B、圆 C、三角形 D、矩形

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2. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条（）

A、相交 B、异面 C、相交或异面 D、平行

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3. 椭圆 $\frac{y^{2}}{3} + x^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(2, 0)$ ， $(- 2, 0)$ B、 $(\sqrt{2}, 0)$ ， $(- \sqrt{2}, 0)$ C、 $(0, \sqrt{2})$ ， $(0, - \sqrt{2})$ D、 $(0, 2)$ ， $(0, - 2)$

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4. 原命题“若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，则 $b^{2} = a c$ ”，则（）

A、逆命题与否命题假，逆否命题真 B、逆命题假，否命题和逆否命题真 C、逆命题和否命题真，逆否命题假 D、逆命题、否命题、逆否命题都真

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5. 如图所示，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）

A、 $1 {cm}^{2}$ B、 $2 \sqrt{2} {cm}^{2}$ C、 $3 \sqrt{2} {cm}^{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4} {cm}^{2}$

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6. “直线 $l$ 与平面 $α$ 平行”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 内无数条直线平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 方程 $| x | - 1 = \sqrt{1 - {(y + 2)}^{2}}$ 所表示的曲线是（）

A、一个圆 B、两个圆 C、一个半圆 D、两个半圆

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过点 $C$ 做直线 $l$ ，使得直线 $l$ 与直线 $B A_{1}$ 和 $B_{1} D_{1}$ 所成的角均为 $70^{o}$ ，则这样的直线 $l$ （）

A、不存在 B、2条 C、4条 D、无数条

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9. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是棱 $B C$ 的中点，点 $P$ 是平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的动点，若直线 $A P$ 与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 所成的角等于直线 $M P$ 与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 所成的角，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、直线 D、射线

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $M$ 是椭圆 $C$ 在第二象限内的点，若 $I$ 是 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心， $G$ 是 $△ M F_{1} F_{2}$ 的重心，记 $△ I F_{1} F_{2}$ 与 $△ G F_{2} M$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} > S_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ C、 $S_{1} < S_{2}$ D、 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 大小不确定

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二、填空题

11. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为，长轴长.

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12. 某三棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为，该几何体的体积是.

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13. 已知圆锥的侧面积为 $4 π {cm}^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 $cm$ ，母线长为 $cm$ .

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，若线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，则 $∠ P F_{2} F_{1} =$ ， $| P F_{1} | - | P F_{2} | =$ .

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15. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 上一点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，则线段 $P H$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为．

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16. 不等式 $k x^{2} - x - 1 \leq 0$ 对任意的实数 $x$ 恒成立的充要条件是 $k \in$ .

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17. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = A D = 5$ ， $B C = B D = C D = 6$ .点 $M$ 是线段 $B C$ 上的点，且 $B M = 2 M C$ .点 $P$ 是棱 $A C$ 上的动点，直线 $P M$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的最大值为.

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三、解答题

18. 知 $p : x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$ ， $q : x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} \leq 0 (a > 0)$ .
（Ⅰ）若 $p$ 为真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

（Ⅱ）若 $p$ 为 $q$ 成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧面 $P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点为 $M (1, 1)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 如图所示，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A D ⊥$ 平面 $D B C$ ， $∠ B D C = 120^{\circ}$ ，且 $A D = 1$ ， $D B = D C = 2$ ， $E$ 是 $D C$ 的中点.

(1)、求异面直线 $A E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的正切值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x {}^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ，且 $F (0 ， \sqrt{3})$ 是 $C$ 的一个焦点，过焦点 $F$ 的动直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $y$ 轴上是否存在定点 $P$ （异于点 $F$ ），使得对任意的动直线 $l$ 都有 $∠ A P F = ∠ B P F$ ，若存在求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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