浙江省台州市七校联盟2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 经过A(5，0)，B(2，3)两点的直线的倾斜角为（）

A、45° B、60° C、90° D、135°

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2. 如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是 ( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α ， n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α \cap β = m ， n \subset α ， n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α ， m / / n ， n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 已知底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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5. 若直线 $y = k x$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两个交点关于直线 $2 x + y + b = 0$ 对称，则 $k$ ， $b$ 的值分别为（）

A、 $k = \frac{1}{2}$ ， $b = - 4$ B、 $k = - \frac{1}{2}$ ， $b = 4$ C、 $k = \frac{1}{2}$ ， $b = 4$ D、 $k = - \frac{1}{2}$ ， $b = - 4$

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6. 已知点M（a，b）在圆O：x²+y²=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）

A、相切 B、相交 C、相离 D、不确定

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7. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2 ， A D = 1$ ，点 $E ， F ， G$ 分别是 $D D_{1} ， A B ， C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $G F$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $0$

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8. 已知直线 $l$ ： $y = x + m$ 与曲线 $x = \sqrt{4 - y^{2}}$ 有两个公共点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 2 \sqrt{2} ， - 2]$ C、 $[2 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- 2 \sqrt{2} ， 2]$

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9. 已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{7})}^{2} = 1$ 和两点 $A (- m, 0), B (m, 0) (m > 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是线段 $B D_{1}$ (不含端点)上的点，记直线 $P C$ 与直线 $A B$ 所成角为 $α$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，二面角 $P - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $β < γ < α$ B、 $β < α < γ$ C、 $α < γ < β$ D、 $α < β < γ$

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二、填空题

11. 已知直线 $l_{1} : a x - y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + y - 3 = 0$ .若直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $a$ =;若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为.

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12. 已知 $m \in R$ ，若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + m = 0$ 表示圆，则圆心坐标为； $m$ 的取值范围是．

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13. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 $\frac{2}{3}$ ，则 $a =$ ，该几何体的表面积为.

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14. 已知圆锥的表面积为 $3 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为；该圆锥的体积为.

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15. 如图，已知 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，从点 $P (2 ， 0)$ 射出的光线经直线 $A B$ 反向后再射到直线 $O B$ 上，最后经直线 $O B$ 反射后又回到 $P$ 点，则光线经过的路程是．

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16. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 及点 $B (0 ， 2)$ ，设P，Q分别是直线 $l ： x + y + 2 = 0$ 和圆C上的动点，则 $| \vec{P B} | + | \vec{P Q} |$ 的最小值为.

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17. 如图，在边长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在正方体表面上移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} E$ ，则点 $B_{1}$ 和满足条件的所有点 $P$ 构成的图形的面积是.

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三、解答题

18. 已知直线 $l$ ：x+y﹣1=0，

(1)、若直线过点（3，2）且∥ $l$ ，求直线的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过 $l$ 与直线2x﹣y+7=0的交点，且 $l_{2}$ ⊥ $l$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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19. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A B = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ，E，F分别是 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证：直线 $E F //$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知圆 $P$ 过点 $M (0 ， 2)$ ， $(\sqrt{3} ， 1)$ ，且圆心 $P$ 在直线 $l ： x - y = 0$ 上.

(1)、求圆 $P$ 的方程.

(2)、过点 $Q (- 1 ， 2)$ 的直线交圆 $P$ 于 $A ， B$ 两点，当 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $A B$ 方程.

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21. 如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ 矩形 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = B C = D E = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、求证： $A B ⊥ A E$ ；

(2)、求证： $D F ∥$ 平面 $A B E$ ；

(3)、求二面角 $B - E F - D$ 的正切值.

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22. 已知直线 $x - y + 2 = 0$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，过直线上的一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 作两条直线 $P A$ ， $P B$ 与圆C相切于A，B两点.

(1)、当P点坐标为 $(2 ， 4)$ 时，求以 $P C$ 为直径的圆的方程，并求直线 $A B$ 的方程；

(2)、设切线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - 7$ 时，求点P的坐标.

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