浙江省宁波市六校联考2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中,一条直线的斜率等于 $\sqrt{3}$ ,则此直线的倾斜角等于（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 已知直线 $l_{1} : x + a y + 2 = 0 ， l_{2} : a x + (a + 2) y + 4 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数a的值是（）

A、2或-1 B、-2或1 C、2 D、-1

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3. 已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）

A、垂直 B、相交 C、异面 D、平行

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4. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$

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5. 已知 $a, b$ 为不同的直线， $α, β$ 为不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a \subset α, b \subset β, α ⊥ β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $a \subset α, b \subset β, α, β$ 不平行，则 $a, b$ 为异面直线 C、若 $a ⊥ b, b ⊥ α$ ，则 $a / / α$ D、若 $a / / α, b ⊥ β, α / / β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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6. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 已知 $m, n, a, b \in R$ ，且满足 $3 m + 4 n = 16$ ， $3 a + 4 b = 1$ ，则 $\sqrt{{(m - a)}^{2} + {(n - b)}^{2}}$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 1 (a > 0)$ 与直线 $y = 2 x$ 相交于 $P 、 Q$ 两点，则当 $Δ C P Q$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ 时，实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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9. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $θ$ ，且 $\cos θ = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{32}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，M，N为体对角线 $B D_{1}$ 的三等分点，动点P在三角形 $A C B_{1}$ 内，且三角形PMN的面积 $S_{△ P M N} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则点P轨迹长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$

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二、填空题

11. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $M (1, - 1, 1)$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标是， $| O M | =$ .

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12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH的一般式方程为.

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13. 设M $= {(x ， y) | y = \sqrt{2 a^{2} - x^{2}} ， a > 0}$ ，N $= {(x ， y) | {(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = a^{2} ， a > 0}$ ，则 $M \cap N \neq \emptyset$ 时，实数a的最大值是，最小值是．

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14. 斜线 $O A$ 与平面 $α$ 成15^°角，斜足为 $O$ ， $A^{'}$ 为 $A$ 在 $α$ 内的射影， $B$ 为 $O A$ 的中点， $l$ 是 $α$ 内过点 $O$ 的动直线，若 $l$ 上存在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 使 $∠ A P_{1} B = ∠ A P_{2} B = 30^{°}$ ，则 $\frac{| P_{1} P_{2} |}{| A B |}$ 则的最大值是，此时二面角 $A - P_{1} P_{2} - A^{'}$ 平面角的正弦值是

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15. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y - 24 = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 8 = 0$ 相交于A、B两点，则线段AB的长度为．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 4, - 2)$ ， $\vec{c} = (7, 5, λ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $λ =$ ．

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17. 设直线l: $x - \sqrt{3} y + m = 0$ 上存在点P到点A(3，0)，O(0，0)的距离之比为2，则实数m的取值范围为.

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三、解答题

18. 如图是一个以A₁B₁C₁为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A₁B₁＝B₁C₁＝2，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝3，CC₁＝2，求：

(1)、该几何体的体积．

(2)、截面ABC的面积．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $P B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $P E ⊥ B C$ ；

（Ⅱ）求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅲ）求证： $E F //$ 平面 $P C D$ .

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P (0 ， 1)$ 且互相垂直的两条直线分别与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于点 $A$ ， $B$ ，与圆 $M$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 交于点 $C$ ， $D$ ．

(1)、若 $A B = \frac{3}{2} \sqrt{7}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $C D$ 中点为 $E$ ，求 $Δ A B E$ 面积的取值范围．

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21. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ，连接 $D E ， D F ， B D ， B E .$

（Ⅰ）证明： $P B ⊥ 平面 D E F$ ．试判断四面体 $D B E F$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\frac{D C}{B C}$ 的值．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 关于直线 $A C$ 对称， $∠ A = 60 °$ ， $∠ C = 90 °$ ， $C D = 2$ .把 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起.

(1)、若二面角 $A - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求证： $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ：

(2)、若 $A B$ 与面 $A C D$ 所成的线面角为30^°时，求 $A C$ 的长.

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