浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {1, 3, 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2, 3, 5}$ C、 ${1}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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2. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 2 \\ x \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值是（）

A、-4 B、8 C、4 D、5

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3. 设 $a ， b$ 为两条直线， $α ， β$ 为两个平面，下列四个命题中真命题是（）

A、若 $a ， b$ 与 $α$ 所成角相等，则 $a / / b$ B、若 $a / / b ， a / / α ， α / / β$ ，则 $b / / β$ C、若 $a \subset α ， b \subset β ， a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β ， α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$

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4. 若关于 $x$ 的不等式 $\frac{x + a}{x} < 0$ 的解集为 ${x | 0 < x < 2}$ 则实数 $a$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、0 D、-1

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .且 $\frac{a}{c} \sin A + \frac{b}{c} \sin B < \sin C$ 则 $△ A B C$ 是（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、无法确定

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，则异面直线 $D C_{1}$ 与 $D_{1} E$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos x}{2^{x} - 2^{- x}}$ ，则 $f (x)$ )的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{2}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 16, \frac{a_{n} a_{n + 2}}{a_{n + 1}^{2}} = \frac{1}{2}$ 则数列 ${a_{n}}$ 的最大项为（）

A、 $2^{9}$ B、 $2^{10}$ C、 $2^{\frac{81}{8}}$ D、 $2^{11}$

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10. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B ⊥ A D ， A B = A D = 1 ， A A^{'} > A B ， E ， F$ ，分别是侧棱 $B B^{'} ， D D^{'}$ 上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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二、填空题

11. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角为，在 $y$ 轴上的截距为

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12. 点 $A (- 2 ， 2 ， 3)$ 是空间直角坐标系O-xyz中的一点，点A关于坐标平面 $x o z$ 对称的点 $A^{'}$ 的坐标为； $| O A^{'} | =$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (- x), x < 0 \\ 2^{- x}, x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (1) =$ ；若 $f (a) = 2$ ，则 $a =$

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{7}, b = 2, A = 60^{°}$ ，则 $c =$

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15. 祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球 $O$ 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

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16. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x \cdot y = 1$ ，则 $\frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 y} + \frac{4}{x + y}$ 的最小值为

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 ， B C = 5 ， A C = 6$ ，点M为 $△ A B C$ 三边上的动点，PQ是 $△ A B C$ 外接圆的直径，则 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的取值范围是

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三、解答题

18. 已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，0)，平面内的动点P满足 $| P A | = 2 | P O |$

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、由（1）所得曲线C与直线 $l : k x - y + 3 = 0$ 相交于两点M，N，且 $| M N | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知 $f (x) = \cos ω x (ω > 0)$

(1)、若f(x)的周期是 $π$ ，求 $ω$ ，并求此时 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、若 $ω = 1 ， g (x) = f^{2} (x) + \sqrt{3} f (- x) f (\frac{π}{2} + x)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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20. 如图，四边形PABC中， $∠ P A C = ∠ A B C = 90^{°} ， P A = A B = 2 \sqrt{3} ， A C = 4$ ，现把 $Δ P A C$ 沿 $A C$ 折起，使PA与平面ABC成 $60^{°}$ 角，点P在平面 $A B C$ 上的投影为点 $O$ ( $O$ 与B在CA同侧)

(1)、证明： $O B / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.

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21. 设函数 $f (x) = a + \sqrt{- x^{2} - 4 x}$ ， $g (x) = x + 2$ ；

(1)、设 $f (x)$ 图象上动点 $M (x, y)$ ，当 $a = 0$ 时，求 ${(x - 1)}^{2} + y^{2}$ '的最大值；

(2)、若对任意 $x \in [- 4, 0]$ 恒有 $f (x) \leq g (x)$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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22. 设 $S_{n}$ .是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{n} = k \cdot n^{2} + n (n \in N^{\cdot})$ ，其中k是常数.

(1)、求 $a_{1}$ 及 $a_{n}$ 的值；

(2)、当k=2时，求证： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ... + \frac{1}{S_{n}} < \frac{2}{3}$ ；

(3)、设 $k > 0$ ，记 $b_{n} = \sqrt{1 + \frac{3}{a^{2}_{n}}} - \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求证：当 $n \geq 2$ 时， $n - 1 < b_{2} + b_{3} + b_{4} + ... + b_{n} < n - 1 + \frac{1}{4 k (k + 1)}$ .

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