浙江省湖州市2021届九年级上学期数学期末模拟试卷

试卷更新日期：2021-01-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 二次函数y＝x²+2x-4的顶点坐标为（）

A、（1，5） B、（-1，5） C、（-1，-5） D、（1 ，-5）

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2. 下列各组的四条线段成比例的是（）

A、 $\sqrt{2}$ ，3，2， $\sqrt{3}$ ， B、4，6，5，10 C、1，2， $\sqrt{2}$ ，2 $\sqrt{2}$ D、2，3，4，1

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3. 如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2 $\sqrt{5}$ ，EM=5，则⊙O的半径为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4. 在Rt $△ A B C$ 中，∠C=90°，如果AC=2， $\cos A = \frac{3}{4}$ ，那么AB的长是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{7}$

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5. 如图，△ABC中，点D在边AB上，添加下列条件，不能判定△ACD∽△ABC的是（）

A、∠ACD=∠B B、∠ADC=∠ACB C、 $\frac{A D}{A C} = \frac{C D}{B C}$ D、AC²=AD·AB

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6. 现有三张正面分别标有数字 $- 1$ ， $2$ ， $3$ 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点 $P (m ， n)$ 在第二象限的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似三角形，若 $C_{1}$ 为 $O C$ 的中点， $S_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、15 B、12 C、9 D、6

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $B (- 1 ， 3)$ ，与 $x$ 轴的交点 $A$ 在点 $(- 3 ， 0)$ 和 $(- 2 ， 0)$ 之间，下列结论正确的有（）
① $b^{2} - 4 a c = 0$ ；② $a + b + c > 0$ ；③ $2 a - b = 0$ ；④ $c - a = 3$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）

A、②④⑤⑥ B、①③⑤⑥ C、②③④⑥ D、①③④⑤

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10. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ， F ，连接OE ， OF ，设BP=x ， △OEF的面积为y ，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 不透明袋子中装有12个球，其中有5个红球、4个绿球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．

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12. 把抛物线 $y = - x^{2}$ 向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为.

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13. 在扇形OAB中，半径OA=2，S_扇形_OAB=π，则圆心角∠AOB=.

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14. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $∠ A B C$ 的平分线与以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交于点D，E为 $A C$ 的中点，则 $D E =$ ．

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16. 对于一个函数，如果它的自变量x与对应的函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝－x均是“闭函数”．已知y＝ax²＋bx＋c(a≠0)是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，－1）和点B(－1，1），则a的取值范围是.

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三、综合题

17. 计算： $\frac{\cos^{2} 30^{0} + \cos^{2} 60^{0}}{\tan 60^{0} \times \tan 30^{0}} + \sin 45^{0}$

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18. 如图，在ΔABC中，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，∠CBD=∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.

(1)、证明：ΔHCD∽ΔHDB.

(2)、求DH的长度.

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19. 为贯彻落实全市城乡“清爽行动”暨生活垃圾分类攻坚大会精神，积极创建垃圾分类示范单位，我校举行了一次“垃圾分类”模拟活动. 我们将常见的生活垃圾分为四类：可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，且应分别投放于4种不同颜色的对应垃圾桶中. 若在这次模拟活动中，某位同学将两种不同类型的垃圾先后随意投放于2种不同颜色的垃圾桶.

(1)、请用列表或画树状图表示所有可能的结果数；

(2)、求这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率.

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20. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC= 38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m

(1)、求∠CAE的度数；

(2)、求这棵大树折断前的高度；（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7， $\sqrt{6}$ ≈2.4）

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21. 如图，抛物线 $y_{1} = - \frac{3}{4} x^{2} + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点．与过B点的直线 y₂=- $\frac{3}{4}$ x+b交于点C．

(1)、求直线 $B C$ 对应的函数解析式和点 $C$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 为抛物线上异于点 $C$ 的一点，若 $S_{△ P A B} = S_{△ A B C}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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22. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)、若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

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23. 如图，AB为☉O直径，半径为2，点D为弧 $AB$ 的中点，点C在☉O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．

(1)、求证：CD是∠ACB的角平分线；

(2)、求CD的长x的取值范围（直接写出答案）

(3)、四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗?如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．

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24. 已知抛物线 $y_{n} = - {(x - a_{n})}^{2} + b_{n}$ （ $n$ 为正整数，且 $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ）与 $x$ 轴的交点为 $A (0 ， 0)$ 和 $A_{n} (c_{n} ， 0)$ ， $c_{n} = c_{n - 1} + 2$ ，当 $n = 1$ 时，第 $1$ 条抛物线 $y_{1} = - {(x - a_{1})}^{2} + b_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $A (0 ， 0)$ 和 $A_{1} (2 ， 0)$ ，其他依此类推．

(1)、求 $a_{1}$ ， $b_{1}$ 的值及抛物线 $y_{2}$ 的解析式．

(2)、抛物线 $y_{4}$ 的顶点 $B_{4}$ 的坐标为（，）；依此类推，第 $(n + 1)$ 条抛物线 $y_{n + 1}$ 的顶点 $B_{n + 1}$ 的坐标为（，）；所有抛物线的顶点坐标 $(x ， y)$ 满足的函数关系式是．

(3)、探究以下结论：
①是否存在抛物线 $y_{n}$ ，使得 $Δ A A_{n} B_{n}$ 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线 $y_{n}$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

②若直线 $x = m$ $(m > 0)$ 与抛物线 $y_{n}$ 分别交于点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $\dots$ ， $C_{n}$ ，则线段 $C_{1} C_{2}$ ， $C_{2} C_{3}$ ， $\dots$ ， $C_{n - 1} C_{n}$ 的长有何规律？请用含有 $m$ 的代数式表示．

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