福建省泉州市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷(B)

试卷更新日期：2021-01-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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2. 设平面 $α$ 的法向量为 $(1, - 2, λ)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(2, μ, 4)$ ，若 $α // β$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、2 B、4 C、-2 D、-4

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3. 已知 $\vec{a} = (1, 5, - 2)$ ， $\vec{b} = (m, 2, m + 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-6 B、-8 C、6 D、8

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4. 若点 $A (a + 1, 3)$ 在圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = m$ 内部，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(5, + \infty)$ B、 $[5, + \infty)$ C、 $(0, 5)$ D、 $[0, 5]$

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距是2，则 $m =$ （）

A、3 B、5 C、3或5 D、2

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6. 两直线 $l_{1} : 3 x - 2 y - 6 = 0$ ， $l_{2} : 3 x - 2 y + 8 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 关于直线 $l_{2}$ 对称的直线方程为（）

A、 $3 x - 2 y + 24 = 0$ B、 $3 x - 2 y - 10 = 0$ C、 $3 x - 2 y - 20 = 0$ D、 $3 x - 2 y + 22 = 0$

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7. 如图所示， $P$ 是二面角 $α - A B - β$ 棱上的一点，分别在 $α ， β$ 平面内引射线 $P M$ ， $P N$ ，如果 $∠ B P M = ∠ B P N = ∠ M P N = 60 °$ ，设二面角 $α - A B - β$ 的大小为 $α$ ，则 $cos α =$ （）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知矩形 $A B C D$ ， $P$ 为平面 $A B C D$ 外一点，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 上的点，且 $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{P N} = \vec{N D}$ ， $\vec{N M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

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二、多选题

9. 在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，与向量 $\vec{A B}$ 相等的向量有（）

A、 $\vec{C D}$ B、 $\vec{A^{'} B^{'}}$ C、 $\vec{D^{'} C^{'}}$ D、 $\vec{B C}$

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10. 已知平面 $α$ 过点 $A (1, - 1, 2)$ ，其法向量 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ ，则下列点不在 $α$ 内的是（）

A、 $(2, 3, 3)$ B、 $(3, - 3, 4)$ C、 $(- 1, 2, 0)$ D、 $(- 2, 0, 1)$

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11. 已知直线 $l_{1} ： a x - y - b = 0$ ， $l_{2} ： b x - y + a = 0$ ，当 $a ， b$ 满足一定的条件时，它们的图形可以是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F$ 、 $E$ ，直线 $x = m$ $(- 1 < m < 1)$ 与椭圆相交于点 $A$ 、 $B$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、存在 $m$ ，使 $△ F A B$ 为直角三角形 C、存在 $m$ ，使 $△ F A B$ 的周长最大 D、当 $m = 0$ 时，四边形 $F B E A$ 面积最大

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三、填空题

13. 化简 $\vec{A B} - \vec{C D} - \vec{A C} + \vec{B D} =$ .

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14. 已知 $F (\sqrt{2}, 0)$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，且 $E$ 过点 $(\sqrt{2}, 1)$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为.

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15. 已知直线 $x - y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $O$ 为坐标原点），且 $△ A O B$ 为等边三角形，则实数 $a =$ ．

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16. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 有一个小孔 $E$ ， $E$ 点到 $C D$ 的距离为3，若该正方体水槽绕 $C D$ 倾斜（ $C D$ 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 与桌面所成的角正切值为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ 斜率为 $- 2$ ，在 $y$ 轴上的截距为2；直线 $l_{2}$ 过定点 $(1, 3)$ ， $(2, 4)$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方程；

(2)、求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点 $P$ 的坐标，并求点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离.

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18. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $M$ 在 $A_{1} C_{1}$ 上 $| M C_{1} | = 2 | A_{1} M |$ ， $N$ 在 $D_{1} C$ 上且为 $D_{1} C$ 中点.

(1)、求 $M$ 、 $N$ 两点间的距离；

(2)、判断直线 $M N$ 与直线 $B D_{1}$ 是否垂直，并说明理由.

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19. 已知圆 $C$ 经过点 $A (2 ， - 1)$ ，且圆心在直线 $y = - 2 x$ 上，直线 $x + y = 1$ 与圆 $C$ 相切．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $- 1$ 的直线 $l$ 经过原点，求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长．

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20. 已知椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $| P Q |$ 的最大值.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C // A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点，过 $B E$ 的平面与线段 $P D$ ， $P C$ 分别交于点 $G$ ， $F$ ．

(1)、求证： $G F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，点 $G$ 为 $P D$ 的中点，求直线 $P B$ 与平面 $B E G F$ 所成角的正弦值.

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和定点 $A (1 ， 0)$ ，平面上一动点 $P$ 满足以线段 $A P$ 为直径的圆内切于圆 $O$ ，动点 $P$ 的轨迹记为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = k (x - 4) (k \neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于不同两点 $M$ 、 $N$ ，直线 $A M$ ， $A N$ 分别交 $y$ 轴于 $P$ ， $Q$ 两点．求证： $| A P | = | A Q |$ ．

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