安徽省名校2020-2021学年高二上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ，则 $A \cap B$ （）

A、 ${x | 1 < x < 4}$ B、 ${x | 2 < x < 4}$ C、 ${x | 3 < x < 4}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 直线 $3 x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是( )

A、 $30^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $120^{°}$ D、 $135^{°}$

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3. 已知空间中 $m$ ， $n$ 是两条不同直线， $α$ 是平面，则（）

A、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$

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4. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = \cos (2 x + \frac{π}{2})$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \ln x^{3}$ D、 $y = x^{\frac{2}{3}}$

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5. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知直线 $l$ 过圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的圆心，且与直线 $2 x - y - 1 = 0$ 平行，则 $l$ 的方程是（）

A、 $2 x + y - 2 = 0$ B、 $2 x - y + 2 = 0$ C、 $2 x - y - 3 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{| x | + \cos x}$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $sin (α + \frac{π}{3}) + sin α = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{6})$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{5}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则 $a_{2020}$ 等于（）

A、 $\frac{2019}{2020}$ B、 $\frac{4039}{2020}$ C、 $\frac{2020}{2021}$ D、 $\frac{4041}{2021}$

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10. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至4000，则 $C$ 大约增加了（）附： $\lg 2 \approx 0.3010$

A、10% B、20% C、50% D、100%

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11. 设 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边，已知D是BC边的中点，且 $a^{2} - b^{2} - c^{2} = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot (\vec{D A} + \vec{D B})$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{17}}{2}$

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12. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 (x \geq 0) \\ 4 x \cos π x - 1 (x < 0) \end{array}$ ， $g (x) = k x - 1 (x \in R)$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 在 $x \in [- 2 ， 3]$ 内有4个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， 4)$ B、 $(2 \sqrt{3} ， 4]$ C、 $(2 \sqrt{2} ， \frac{11}{3})$ D、 $(2 \sqrt{2} ， \frac{11}{3}]$

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二、填空题

13. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 e^{x - 1}, (x < 2) \\ \log_{3} (x^{2} - 1), (x \geq 2) \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ .

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14. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ y - x \leq 1 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y + 3$ 的最小值为.

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，若 $x + 2 y > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数m的取值范围是．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的各顶点都在同一球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，若该棱锥的体积为 $1$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则此球的表面积= ．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．若 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $a_{4} = b_{2}$ ， $S_{4} - T_{2} = 12$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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18. 已知点 $P (\sqrt{3} ， 1)$ ， $Q (\cos x ， \sin x)$ ， $O$ 为坐标原点，函数 $f (x) = \overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{Q P}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及最小正周期；

(2)、若 $A$ 为 $Δ A B C$ 的内角， $f (A) = 4$ ， $B C = 3$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B C D = 120 °$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， $A B = A C = P A = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、过 $A C$ 的平面交 $P D$ 于点 $M$ ，若 $V_{M - P A C} = \frac{1}{2} V_{P - A C D}$ ，求三棱锥 $P - A M B$ 的体积．

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20. 如图， $O M$ ， $O N$ 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， $O M$ 为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路 $O M$ 上一游客休息区，已知 $\tan ∠ M O N = - 3$ ， $O A = 6$ （百米），Q到直线 $O M$ ， $O N$ 的距离分别为3（百米）， $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ （百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 $O N$ 于点B，并在B处修建一游客休息区.

(1)、求有轨观光直路 $A B$ 的长；

(2)、已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时， $r = 2 \sqrt{a t}$ （百米）（ $0 \leq t \leq 9$ ， $0 < a < 1$ ）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道 $B A$ 以 $\sqrt{2}$ （百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3}$ .

(1)、求证： ${\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (3^{n} - 1) \frac{n}{2^{n}} \cdot a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若不等式 ${(- 1)}^{n} λ < T_{n} + \frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $\vec{O P} = (\cos (2 x + \frac{π}{6}) + \cos (2 x - \frac{π}{6}) ， 1)$ ， $\vec{O Q} = (1 ， 2 \sin x \cos x + 1)$ ，且 $f (x) = \vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上有两个不同的零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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