浙江省精诚联盟2020-2021学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集 $U = N$ ，集合 $A = {0 ， 1} ， B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 函数 $f (x) = e^{x} - \frac{3}{x}$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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3. 已知 $\cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (\frac{π}{3} - α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知 $a = \log_{2} 3 ， b = \log_{2} e ， c = \ln 2$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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5. 若角 $θ$ 满足条件 $\sin θ + \cos θ < - 1$ ，则 $θ$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{a - x}$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I (t)$ （t的单位：天）的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当 $I (t^{*}) = 0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（已知 $\ln 19 \approx 3$ ）

A、60 B、63 C、66 D、69

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8. 函数 $f (x) = x | x - a |$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} - 2 ， 0)$ B、 $(0 ， 2 \sqrt{2} - 2]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ D、 $[2 \sqrt{2} - 2 ， 1)$

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二、选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9. 在下列函数中，既具有奇偶性又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的有（）

A、 $y = | \lg x |$ B、 $y = 1 + x^{2}$ C、 $y = 2^{| x |}$ D、 $y = x^{3}$

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10. 已知a ， b ， c满足 $a > b > c$ ，且 $a c < 0$ ，则下列不等式中恒成立的有（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{c}{a}$ B、 $\frac{b - a}{c} > 0$ C、 $\frac{b^{2}}{c} > \frac{a^{2}}{c}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{c}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、如果 $α$ 是第一象限的角，则 $- α$ 是第四象限的角 B、如果 $α ， β$ 是第一象限的角，且 $α < β$ 则 $\sin α < \sin β$ C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{2 π}{3}$ D、若圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，则该扇形弧长为 $\frac{8 π}{3}$

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12. 对于函数 $f (x)$ ，若 $f (x) = x$ ，则称x为 $f (x)$ 的“不动点”，若 $f (f (x)) = x$ ，则称x为 $f (x)$ 的“稳定点”记 $A = {x | f (x) = x}$ ， $B = {x | f (f (x)) = x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、对于函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，有 $A = B$ 成立 B、对于函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{matrix}$ ，有 $A = B$ 成立 C、对于函数 $f (x) = a x^{2} - 1$ ，存在 $a \in R$ ，使得 $A = B$ 成立 D、若 $f (x)$ 是R上的单调递增函数，则一定有 $A = B$ 成立

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三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13. 角的 $α$ 终边过点 $(1 ， - 2)$ ，则 $\tan α =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \lg (x - 2) + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为．

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15. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 的图像如右图所示，那么实数m的值是．

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16. 函数 $f (x) = (x^{2} - a x - 2 a^{2}) \ln (x - a) \geq 0$ 恒成立，则实数a的值为．

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四、解答题（本题共6小题，共70分．17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在① $g^{2} (x) + f^{2} (x) = g (2 x)$ ，② $g^{2} (x) - f^{2} (x) = 1$ ，③ $f (x) g (x) = \frac{1}{2} f (2 x)$ 这三条性质中任选一个，补充在下面的命题中．先要判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程，若命题为假，请说明理由．
命题：若设函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} ， g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 满足性质 ▲ ．

注：如果选择多个性质分别作答，按第一个解答计分．

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ， $B = {x | | x - m | \leq 1}$ ．
（Ⅰ）若实数 $m = 0$ ，求 $A \cap B ， A \cup B$ ；

（Ⅱ）若 $p ： x \in A$ 是 $q ： x \in B$ 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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19. （Ⅰ）求值： $\sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} + π^{0} + \sqrt{{(- \frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \ln (e \sqrt{e})$ ；
（Ⅱ）已知 $\sin (π - α) - \cos (\frac{π}{2} + α) = \cos (- α)$ ，求 $\sin^{2} α + \sin α \cdot \cos α$ 的值．

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20. 已知 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - x + b$ 满足 $f (1) = 0$ ．
（Ⅰ）求 $\frac{a + 4}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

（Ⅱ）解关于x的不等式 $f (x) \leq 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \ln x ， x \geq 1 \\ a x^{2} + x + 1 ， x < 1 \end{matrix}$ ， $a \in R$ ．
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 恰有两个零点，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} ， a \in R$ ．
（Ⅰ）根据a的不同取值，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性（只写结论，不需证明）；

（Ⅱ）设函数 $g (x) = f (x) - a \cdot 2^{- x}$ ，当 $a > 0$ 时，对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，总有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq \frac{a + 1}{2}$ 成立，求a的取值范围．

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