甘肃省定西市2020届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、明天太阳从西边出来 B、打开电视，正在播放《新闻联播》 C、兰州是甘肃的省会 D、小明跑完 $800 m$ 所用的时间为 $1$ 分钟

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3. 一元二次方程3x²﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（）

A、﹣1 B、﹣2 C、1 D、0

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4. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标为（）

A、(3,1) B、( $- 3$ ，1) C、(1,3) D、(1, $- 3$ )

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5. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ，点 $O$ 的坐标为 $(0, 0)$ ，点 $P$ 的坐标为 $(3, 4)$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 D、不能确定

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6. 如图，将 $Δ A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 后得到 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $∠ A C B = 25 °$ ，则 $∠ A C B'$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $60 °$ D、 $85 °$

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7. 关于抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 21$ 的说法中，正确的是（）

A、开口向下 B、与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的下方 C、与 $x$ 轴没有交点 D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + 3 = 0$ 有两个实数根 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = n$ ，则代数式 ${(m + n)}^{2020}$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $3^{2020}$ D、 $7^{2020}$

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9. 如图， $Δ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的半径是 $1$ .若 $∠ C = 45 °$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 如图，这是二次函数 $y = a x^{2} + b x + a^{2} + a - 6$ 的图象，则 $a$ 的值等于（）

A、3 B、2 C、-2 D、-3

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二、填空题

11. 如图， $Δ A B C$ 与 $Δ D E C$ 关于点 $C$ 成中心对称，若 $A B = 2$ ，则 $D E =$ .

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12. 在单词 $m a t h e m a t i c s$ （数学）中任意选择一个字母，选中字母“a”的概率为．

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13. 一个正多边形的每个外角都等于 $60 °$ ，那么这个正多边形的中心角为.

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14. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线的函数解析式是.

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15. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

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16. 如图，把直角三角板的直角顶点 $O$ 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 $M$ 、 $N$ .量得 $O M = 8 cm$ ， $O N = 6 cm$ ，则该圆玻璃镜的半径是 .

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17. 某厂前年缴税 $30$ 万元，今年缴税 $36.3$ 万元，如果该厂缴税的年平均增长率为 $x$ ，那么可列方程为.

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18. 观察下列各数：0，3，8，15，24，……按此规律写出的第10个数是，第 $n$ 个数是.

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三、解答题

19. 解方程：3x（x+1）=3x+3．

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20. 如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，请作出 $Δ A B C$ 关于原点对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标.

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21. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论；

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22. 一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片.

(1)、求小芳抽到负数的概率；

(2)、若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率.

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23. 如图，半圆 $O$ 的直径 $A B = 2$ ，将半圆 $O$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $45 °$ 得到半圆 $O^{'}$ ，半圆 $O^{'}$ 与 $A B$ 交于点 $P$ .

(1)、求 $A P$ 的长；

(2)、求图中阴影部分的面积.（结果保留 $π$ ）

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24. 在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为 $A (0, - 4)$ ，且经过点 $B (3, 0)$ .

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、求直线y=-x-1与该二次函数图象的交点坐标.

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ C A B = 45 °$ ， $B C = B A$ ，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ .

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 2$ ，求 $C D$ 的长.

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26. 某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表，与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为

x (0 < x < 0.5)

.注：步数

\times

平均步长

=

距离.

项目	第一次锻炼	第二次锻炼
步数（步）	$10000$	①_______
平均步长（米/步）	$0.6$	②_______
距离（米）	$6000$	$7020$

(1)、根据题意完成表格；

(2)、求

x

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27. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O A = 2$ ， $O C = 3$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知抛物线上点 $D$ 的横坐标为 $2$ ，在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使得 $Δ B D P$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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28. 问题背景：如图1，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A E = 10$ ， $B E = 6$ ，四边形 $C D E F$ 是正方形，求图中阴影部分的面积.

(1)、发现：如图2，小芳发现，只要将 $Δ A D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转一定的角度到达 $Δ A^{'} D^{'} E^{'}$ ，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为；（直接写出答案）

(2)、应用：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ 于点 $E$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积为16，试求出 $D E$ 的长；

(3)、拓展：如图4，在四边形 $A B D C$ 中， $∠ B + ∠ C = 180 °$ ， $D B = D C$ ， $∠ B D C = 120 °$ ，以 $D$ 为顶点作 $∠ E D F$ 为 $60^{°}$ 角，角的两边分别交 $A B$ ， $A C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，连接 $E F$ ，请直接写出线段 $B E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系.

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