江苏省徐州市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {2, 3, 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${2, 4}$ B、 ${1, 2, 2, 3, 4}$ C、 ${1, 2, 3, 4}$ D、 ${(1, 2, 3, 4)}$

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, 1) \cup (1, 2)$ D、 $[- 2, 1) \cup (1, 2]$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a^{2} > a$ ”是“ $a < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $2^{x} = 3^{y} = k$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、6 B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、3

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5. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减，且 $f (3) = 0$ ，则满足 $x f (x + 1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, - 1] \cup [0, + \infty)$ B、 $[- 2, 0] \cup [1, 4]$ C、 $[- 4, - 1] \cup [0, 2]$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [0, 2]$

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 a$ 是定义在 $[a, a + 2]$ 上的偶函数，又 $g (x) = f (x + 1)$ ，则 $g (- \frac{3}{2})$ ， $g (0)$ ， $g (3)$ 的大小关系为（）

A、 $g (0) > g (- \frac{3}{2}) > g (3)$ B、 $g (- \frac{3}{2}) > g (0) > g (3)$ C、 $g (0) > g (3) > g (- \frac{3}{2})$ D、 $g (3) > g (- \frac{3}{2}) > g (0)$

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7. 若 $x$ ， $y \in R^{+}$ ， $3 x + y = x y$ ，则 $2 x + y$ 的最小值（）

A、 $2 \sqrt{6} + 5$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、12 D、6

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8. 对于集合 $A$ ， $B$ ，若一个集合为另一个集合的子集时，则称这两个集合 $A$ ， $B$ 之间构成“全食”；当集合 $A \cap B \neq \emptyset$ ，且互不为对方子集时，则称集合 $A$ ､ $B$ 之间构成“偏食”.对于集合 $A = {- 2, 1, 2}$ ， $B = {x | a x^{2} = 1, a \geq 0}$ ，若集合 $A$ ， $B$ 构成“全食”或构成“偏食”，则 $a$ 的取值集合为（）

A、 ${\frac{1}{4}}$ B、 ${1, \frac{1}{4}}$ C、 ${0, 1, \frac{1}{4}}$ D、 ${0, 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$

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10. 已知函数 $y = \frac{1}{1 - x} - x (x > 1)$ ，则该函数（）

A、最大值为-3 B、最小值为1 C、没有最小值 D、最小值为-3

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，函数解析式为 $f (x) = x^{2} - 2 x$ B、函数在定义域 $R$ 上为增函数 C、不等式 $f (3 x - 2) < 3$ 的解集为 $(- \infty ， 1)$ D、不等式 $f (x) - x^{2} + x - 1 > 0$ 恒成立

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）

A、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集不可能是 ${x | x > 6}$ B、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集可以是 $R$ C、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集可以是 $\emptyset$ D、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集可以是 ${x | 2 < x < 3}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {4, 2 a + 1, a}$ ， $B = {a - 3, 4 - a, 3}$ 且 $A \cap B = {3}$ ，则 $a$ 的取值为.

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14. 已知 $y = f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ ，则 $f (- 16)$ 的值是.

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15. 若命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $a x^{2} + a x - 3 \geq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、双空题

16. 定义：闭区间 $[a, b]$ 的长度为 $b - a$ .已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ ，则不等式 $f (x) \leq 3$ 解集的区间长度为，不等式 $f (x) \leq m$ 的解集的区间长度为8，则实数 $m$ 的值是.

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五、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $\log_{2} \frac{\sqrt[4]{16}}{2} + \log_{2} 8 + 3^{1 + \log_{3} 5}$ ；

(2)、 $64^{\frac{1}{3}} - {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + 625^{0.75} + {(\frac{1}{\sqrt{5} - 1})}^{0}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | \frac{4}{x - 2} < - 1}$ ， $B = {x | (x - m - 1) (x - m - 7) > 0}$ .

(1)、若 $m = - 2$ ，求集合 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{- 3 x^{2} + 16 x - 16}}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 \geq 0}$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $p$ ： $x \in A$ ， $q$ ： $x \in B$ ，且 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 6 ， x < - 3 \\ x^{2} + 2 x ， - 3 \leq x \leq 0 \\ \frac{1}{x} ， x > 0 \end{matrix}$

(1)、请在给定的坐标系中画出此函数的图象；

(2)、写出此函数的定义域､单调区间及值域(不需要写过程).

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21. 随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代传统 $P C$ 渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入移动互联网时代.2020年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产､试销.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本280万，每生产 $x$ (千部)手机，需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 200 x ， 0 < x < 50 \\ 801 x + \frac{10000}{x} - 9450 ， x \geq 50. \end{array}$ ，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出2020年的利润 $W (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (千部)的函数关系式(利润 $=$ 销售额 $-$ 成本)；

(2)、2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，满足 $f (1) = \frac{1}{5}$ ，当 $- 2 < x \leq 0$ 时，有 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明；

(3)、解不等式 $f (2 x - 1) + f (x) < 0$ .

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