江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 < 2}$ ， $B = {x | - 4 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 4 < x < 2}$ C、 ${x | - 4 < x < 3}$ D、 ${x | x < 3}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + {(x - 3)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(2, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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3. 已知A为奇数集，B为偶数集，命题 $p : \forall x \in A$ ， $2 x \in B$ ，则（）

A、 $\neg p : \forall x \in A$ ， $2 x \notin B$ B、 $\neg p : \forall x \notin A$ ， $2 x \notin B$ C、 $\neg p : \exists x \notin A$ ， $2 x \notin B$ D、 $\neg p : \exists x \in A$ ， $2 x \notin B$

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4. 已知函数 $f (x) = x + \frac{3 x + 7}{x + 2} (x > - 2)$ （）

A、 $f (x)$ 有最小值-1 B、 $f (x)$ 有最大值-1 C、 $f (x)$ 有最小值3 D、 $f (x)$ 有最大值3

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5. “ $x \geq 2$ ”的一个必要不充分条件是（）

A、 $x > 2$ B、 $x^{2} > 2$ C、 $2 x - 4 \geq 0$ D、 $x^{2} > 9$

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6. 对于 $\forall x \in [- 2, 2]$ ，不等式 $m + x \leq \sqrt{2 - x}$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \leq - \frac{9}{4}$ B、 $m \leq - 2$ C、 $m \leq 0$ D、 $m \leq 4$

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7. 函数 $y = \frac{a x}{x^{2} + 1} (a > 0)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 定义 $\min (a, b) = {\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，例如： $\min (- 1, - 2) = - 2$ ， $\min (2, 2) = 2$ ，若 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = - x^{2} - 4 x + 6$ ，则 $F (x) = \min (f (x), g (x))$ 的最大值为（）

A、1 B、8 C、9 D、10

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9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ B、若 $a + b \geq 2$ ，则 $a b \geq 1$ C、若 $a + b \geq 2$ ，则 $a b \leq 1$ D、 $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$

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二、多选题

10. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $M = {3, 4, 5}$ ， $N = {1, 2, 5}$ ，则集合 ${1, 2}$ 可以表示为（）

A、 $M \cap N$ B、 $(∁_{U} M) \cap N$ C、 $(∁_{U} N) \cap M$ D、 $(∁_{U} (M \cap N)) \cap N$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的图象由如图所示的两条线段组成，则（）

A、 $f (f (1)) = 3$ B、 $f (2) > f (0)$ C、 $f (x) = - x + 1 + 2 | x - 1 |$ ， $x \in [0 ， 4]$ D、 $\exists a > 0$ ，不等式 $f (x) \leq a$ 的解集为 $[\frac{1}{2} ， 2]$

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 2 ， x < 1 \\ \frac{k}{x} + k + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，（常数 $k \neq 0$ ），则（）

A、当 $k > 0$ 时， $f (x)$ 在R上单调递减 B、当 $k > - \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 没有最小值 C、当 $k = - 1$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ D、当 $k = - 3$ 时， $\forall x_{1} \geq 1$ ， $\exists x_{2} < 1$ ，有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是单调递减函数，则实数m的值为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 2 |, x \leq 0 \\ 2 f (x - 1), x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2)$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，关于x的不等式 $f (x) \leq c$ 的解集为A，其中 $A = [m, n]$ ， $f (x)$ 在集合A上的值域为B，若 $A = B$ ，则 $n - m =$ .

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四、双空题

16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (2) = 3$ ，且函数 $y = f (x) + x$ 为偶函数，则 $f (- 2)$ 的值为，函数 $y = \frac{f (x)}{x} + 1$ 是函数（从“奇”､“偶”､“非奇非偶”､“既奇又偶”中选填一个）.

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五、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{x - 1}{x - 5} < 0}$ ，集合 $B = {x | a - 1 < x < a^{2}} .$

(1)、求 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知 $a b c^{2} = 1$ ， $a + b + c = 0$ ， $c > 0$ .

(1)、求证： $a + b \leq - 2 \sqrt{a b}$

(2)、求c的最小值，并求此时a与b的值.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x, x \leq 0 \\ x^{2} + a x, x > 0 \end{array}$ ，为奇函数.

(1)、求 $f (2)$ 和实数a的值；

(2)、求方程 $f (x) = f (2)$ 的解.

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20. 已知函数 $f (x) = x + \frac{9}{x} (x \neq 0)$

(1)、当 $x \in [1 ， 5]$ 时，讨论并证明 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 的取值范围；

(2)、求不等式 $f (3 x^{2}) + f (3 x) \leq 0$ 的解集.

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21. 某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为xkm.

(1)、试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；

(2)、若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y取得最大值？（每千米收益计算公式为 $y = \frac{F - C}{x})$

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + b .$

(1)、若 $y = f (x)$ 值域为 $[0, + \infty)$ ，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ 恒成立，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $y = f (f (x))$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，
①当 $a = - 2$ 时，求b的值；

②求b关于a的函数关系 $g (a)$ .

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