江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 1 < 0}, N = {x | \frac{x}{3 - x} > 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $[0, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 1, 0)$

查看试题解析
2. 已知幂函数 $f (x) = (n^{2} + 2 n - 2) \cdot x^{n^{2} - 3 n} (n \in Z)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则 $n$ 的值为（）

A、-3 B、1 C、2 D、1或2

查看试题解析
3. 若 $x \geq y$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ B、 $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ C、 $2^{x} \leq 2^{y}$ D、 $x^{2} \geq y^{2}$

查看试题解析
4. 设 $A = [- 3 ， 3] ， B = {y | y = - x^{2} + m ， x \in R}$ ，若 $A \cap B =$ ∅，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(- \infty ， - 3]$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

查看试题解析
5. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a b + 4 \neq 2 a + 2 b$ ”的充要条件是（）

A、 $a, b$ 不都为2 B、 $a, b$ 都不为2 C、 $a, b$ 中至多有一个是2 D、 $a, b$ 不都为0

查看试题解析
6. 设 $a \in R$ ，已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $[- 4, 4]$ 上的减函数，且 $f (a + 1) > f (2 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, 1)$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 5, 2]$

查看试题解析
7. 若一个函数的解析式为 $f (x) = 2 | x - 1 | + 1$ ，它的值域为 $[1, 3]$ ，这样的函数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

查看试题解析
8. 已知函数 $y = f (x), x \in R$ ，下列说法不正确的是（）

A、若对于 $\forall x \in R$ ，都有 $f (a - x) - f (b + x) = 0$ （ $a, b$ 为常数），则 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{a + b}{2}$ 对称 B、若对于 $\forall x \in R$ ，都有 $f (a - x) + f (b + x) = 0$ （ $a, b$ 为常数），则 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{a + b}{2}, 0)$ 对称 C、若对于 $\forall x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，则 $f (x)$ 是奇函数 D、若对于 $\forall x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ ，且 $f (x) \neq 0$ ，则 $f (x)$ 是奇函数

查看试题解析

二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、当 $x \geq 1$ 时， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、当 $x < 0$ 时， ${(x + \frac{1}{x})}_{\max} = - 2$ C、当 $0 < x < 1$ 时， $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} > 2$ D、当 $x > 2$ 时， ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}_{\min} = 2 \sqrt{2}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} (x \geq 0)$ ，则下列判断正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上是增函数 C、 $f (x)$ 的最大值为 $1$ D、 $f (x)$ 无最大值

查看试题解析
11. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[a ， b] ， a < c < b$ .下列说法中错误的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $[a ， c]$ 上是增函数，在 $[c ， b]$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$ B、若 $f (x)$ 在 $[a ， c)$ 上是增函数，在 $[c ， b]$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$ C、若 $f (x)$ 在 $(a ， c]$ 上是增函数，在 $[c ， b]$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$ D、若 $f (x)$ 在 $[a ， c]$ 上是增函数，在 $(c ， b)$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$

查看试题解析

12. 任何一个正整数

x

可以表示成

x = a \times 10^{n}, (1 \leq a < 10, n \in N)

，此时，

\lg x = n + \lg a

真数	2	3	4	5	6	7	8
常用对数（近似值）	0.301	0.477	0.602	0.699	0.778	0.845	0.903

下列结论正确的是（）

A、

x

是

n + 1

位数 B、

x

是

n

位数 C、

3^{100}

是48位数 D、一个

11

位正整数的

15

次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5

查看试题解析

三、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} > 0$ ”的否定是.

查看试题解析
14. ${(\frac{1}{2})}^{\log_{2} 3} + \lg (\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}) - \lg (\sqrt{2}) =$ .

查看试题解析
15. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级 $M$ 与所释放的能量 $E$ 的关系如下： $E = 10^{4.8 + 1.5 M}$ （焦耳）.那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的.

查看试题解析

四、双空题

16. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a - a^{x}) (a > 1)$ ，则 $f (x)$ 的定义域为，值域为.

查看试题解析

五、解答题

17. 设 $p : \frac{2 x - 2}{x - 3} \leq 1, q : | x - 2 | \leq a (a > 0)$ .

(1)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 8$

(1)、若 $m = 1$ ，求方程 $f (x) = 0$ 的解；

(2)、若对于 $\forall x \in [0, 2]$ ， $f (x) \geq - 2$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 b x + 1 ， x \in [1 ， 3]$ （ $a ， b \in R$ 且 $a ， b$ 为常数）

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b = - 1$ ，且 $f (x)$ 的最小值为 $- 4$ ，求 $a$ 的值.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上减函数.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 1) x + 1 - \frac{7}{4} a$ （ $a$ 为非零常数）

(1)、若 $a > 0$ ，且方程 $f (x) = 0$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上有两个不等实根，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) > \frac{2}{a} - \frac{7}{4} a + 3$ .

查看试题解析
22. 若函数 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} ， 0 \leq x \leq 1 \\ - x + 2 ， 1 < x \leq 2 \end{matrix}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、设 $g (x) = f (\log_{2} x - 2) + m ， x \in [1 ， 16]$ ，对于 $\forall x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in [1 ， 16]$ ，且 $g (x_{1}) \leq g (x_{2}) \leq g (x_{3})$ ，都有 $g (x_{1}) + g (x_{2}) \geq g (x_{3})$ ，求实数 $m$ 的最小值.

查看试题解析