江苏省南通市启东市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | x - 1 > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | x > - 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上是减函数为（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ D、 $y = 2^{- x}$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 + 2^{x - 1}, x \geq 2, \\ | x - 1 | + 3, x < 2, \end{matrix}$ 则 $f (f (0)) =$ （）

A、5 B、8 C、9 D、17

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4. 若关于x的不等式ax+b<0的解集为(2，+∞)，则bx+a<0的解集为（）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$

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5. 若 $a = {0.8}^{0.8}$ ， $b = {0.8}^{0.9}$ ， $c = {1.2}^{0.8}$ ，则（）

A、c＜b＜a B、c＜a＜b C、b＜a＜c D、a＜b＜c

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (m^{2} - 4) x + m$ 是偶函数， $g (x) = x^{m}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-4 C、2 D、±2

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7. 设命题甲： $a x^{2} + 2 a x + 1 > 0$ 的解集是实数集 $R$ ；命题乙： $0 < a < 1$ ，则命题甲是命题乙成立的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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8. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在(0，＋∞)上是增函数，不等式 $f (a x + 2) \leq f (- 1)$ 对于 $x \in [1, 2]$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{2}]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ C、 $[- 3, - \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{3}{2}, - 1]$

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9. 下列命题中正确的是（）

A、若 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、若 $x < y < 0$ ，则 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ C、若 $x < 0$ ，则 $x + \frac{1}{x} \leq - 2$ D、若 $\frac{y}{x} < 1$ ，则 $y < x$

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二、多选题

10. 下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（）

A、f(x)＝x＋1，g(x)＝ $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ B、f(x)＝ $\sqrt{x + 1}$ · $\sqrt{1 - x}$ ，g(x)＝ $\sqrt{1 - x^{2}}$ C、f(x)＝(x－1)⁰ ， g(x)＝1 D、f(x)＝ $\frac{{(\sqrt{x})}^{2}}{x}$ ，g(x)＝ $\frac{x}{{(\sqrt{x})}^{2}}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ (e为自然对数的底数)，则（）

A、f(x)为奇函数 B、方程f(x)＝ $\frac{1}{2}$ 的实数解为x＝ln3 C、f(x)的图象关于y轴对称 D、"x₁ ， x₂∈R，且x₁≠x₂ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$

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12. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in C_{R} Q \end{array}$ 称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有（）

A、f(f(x))＝1 B、函数 $y$ =f(x)的图象是两条直线 C、 $f (\sqrt{2})$ >f(1) D、"x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)

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三、填空题

13. 若 ${x \in N^{*} | x^{2} + m x < 0}$ 恰有三个元素，则实数m的取值范围为.

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14. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x}$ 的值域为．

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15. 已知x，y是正实数，且 $x + y = 3$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{4}{y + 4}$ 的最小值是．

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四、双空题

16. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 $a^{b} = N \Leftrightarrow b = \log_{a} N$ ，现已知 $a = \log_{2} 6, 3^{b} = 36$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} =$ ， $2^{\frac{a}{b}} =$ ．

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五、解答题

17.

(1)、求值： ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \cdot \lg 50 + 2^{1 + \log_{2} 5}$ ；

(2)、已知 $f (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) = x + x^{- 1}$ ，求函数f(x)的解析式．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x - 2 m$ (m∈R)．

(1)、若函数f(x)在区间 $(- \infty, 2)$ 上单调递减，求实数m的取值范围；

(2)、若对于任意 $x \in [- 1, 1]$ ，都有f(x)＜0成立，求实数m的取值范围．

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19. 对于集合A，B，我们把集合 ${x | x \in A,$ 且 $x \notin B}$ 记作A－B．

(1)、已知集合A＝ $(- 1, 1)$ ，B＝ $(0, 2)$ ，求A－B，B－A；(直接写出结果即可)

(2)、已知集合P＝ ${x | (x + a) (x - 2 a) \geq 0}$ ，Q＝ $[1, 2]$ ，若Q－P＝Æ，求实数a的取值范围．

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20. 某地规划对一片面积为 $a$ 的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为 $x (0 < x < 1)$ ．当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间．

(1)、求x的值；

(2)、若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的 $\frac{1}{4}$ ？

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21. 已知不等式 $\frac{5}{x - 3} \geq - 1$ 的解集为 $A$ ，集合 $B = {x | 2 a x^{2} + (2 - a b) x - b < 0}$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、当 $a > 0, b = 1$ 时，求集合 $B$ ；

(3)、是否存在实数 $a, b$ 使得 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分条件，若存在，求出实数 $a, b$ 满足的条件；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{a^{2} - 1} (a^{x} - a^{- x}), (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、判断并证明函数f(x)的奇偶性；

(2)、讨论函数f(x)的单调性；

(3)、对于 $x \in [- 1, 1]$ ，∃ $m \in [2, + \infty)$ ，使得 $f (x) = m^{2} + k m$ ，求k的取值范围．

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