江苏省南京市三校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {1, 2, 3}$ ， $N = {2, 4, 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{2} C、 ${1, 2, 3, 4, 5}$ D、 $(1, 5)$

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2. “ $x \in (1, 2)$ ”是“ $x \in (0, 3)$ ”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 集合 ${1, 2}$ 的子集的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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4. 设 $a, b, c \in R$ ，则下列命题是真命题的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < c$ ， $b \leq c$ ，则 $a \leq b$ D、若 $a + c \geq b + c$ ，则 $a \geq b$

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5. “道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（）

A、 $y = 10 x$ ， $x > 0$ B、 $y = \frac{1}{10} x$ ， $x > 0$ C、 $y = x + 10$ ， $x > 0$ D、 $y = x + 9$ ， $x > 0$

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6. 若函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象是如图所示的射线，则当 $x < 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = x - 1$ B、 $f (x) = x + 1$ C、 $f (x) = - x + 1$ D、 $f (x) = - x - 1$

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7. 下列说法正确的是（）

A、因为 $1^{2} = 1$ ，所以 $\log_{1} 1 = 2$ B、因为 $3^{2} = 9$ ，所以 $\log_{3} 9 = 2$ C、因为 ${(- 3)}^{2} = 9$ ，所以 $\log_{(- 3)} 9 = 2$ D、因为 $3^{2} = 9$ ，所以 $\log_{9} 2 = 3$

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8. 已知 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x y$ 的最小值为1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为2 C、 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为2

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二、多选题

9. 设集合 $M = {x | a < x < 3 + a}$ ， $N = {x | x < 2$ 或 $x > 4}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a < - 1$ ，则 $M \subseteq N$ B、若 $a > 4$ ，则 $M \subseteq N$ C、若 $M \cup N = R$ ，则 $1 < a < 2$ D、若 $M \cap N \neq \emptyset$ ，则 $1 < a < 2$

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10. 设 $a, b, c \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ，则 $a > b$

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11. 设 $a \in R$ ， $n$ ， $m \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ，则下列等式中一定正确的是（）

A、 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m}^{+ n}$ B、 ${(a^{n})}^{m} = a^{m}^{+ n}$ C、 $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ D、 ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$

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12. 下列说法中正确的是（）

A、“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分条件是“ $a > b > 0$ ” B、若“对任意的 $x \in R$ ， $1 - x^{2} \leq m$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $[1, + \infty)$ C、“函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数”的含义是“存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ” D、对于非空集合 $M$ ， $N$ ，“ $M \subseteq N$ ”的充要条件是“对任意的 $x \in M$ ，都有 $x \in N$ ”

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为.

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14. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 1, & x > 0 \\ x^{2} + 1, & x \leq 0 \end{array}$ 的值域为.

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15. “ $\exists x \in R$ ， $x^{2} = x$ ”的否定是：.

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16. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 是增函数，且 $f (2) = 0$ ，则满足不等式 $f (x) < 0$ 的实数 $x$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(\sqrt{2})}^{0} + 2 \times {(\frac{9}{4})}^{0.5} - {0.001}^{- \frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $2 \lg 5 + \log_{2} \frac{1}{8} + \lg 4$ .

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18. 解下列不等式：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x + 3 < 0$ ；

(2)、 $- 3 x^{2} + x + 4 \leq 0$ .

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19. 设函数 $f (x) = (k^{2} + 4 k - 5) x^{2} + 2 (1 - k) x + 1$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) > 0$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 实验表明： $A$ 品牌的60瓦白炽灯和 $B$ 品牌的10瓦节能灯照明亮度相同，一只 $A$ 品牌的60瓦白炽灯的平均使用寿命为2000小时，售价3元；一只 $B$ 品牌的节能灯平均使用寿命为4000小时，售价15元.已知电的价格是0.5元/千瓦小时，用灯费用=购灯费用+用电费用.设用灯时间 $t$ （单位：小时）不超过4000小时，用一只白炽灯的费用与用一只节能灯的费用的差为 $y$ （元）.

(1)、试写出 $y$ 关于 $t$ 的函数关系式 $y = f (t)$ ；

(2)、需用灯多少小时，节能灯才能显现费用节约的效果?

(3)、如果用灯4000小时，那么用一只节能灯比用一只白炽灯节约多少费用?

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21. 设 $a \in R$ ，解下列关于 $x$ 的不等式： $a x^{2} + (a - 1) x - 1 > 0$ .

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22. 设函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ .

(1)、证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是增函数；

(2)、设函数 $g (x) = x^{2} - a x$ ，其中 $a \in R$ ，若对任意的 $m \in [2, 4]$ ， $n \in [1, 5]$ ，都有 $f (m) \geq g (n)$ ，试求实数 $a$ 的取值范围.

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