人教A版（2019）必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式

试卷更新日期：2020-12-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 $θ \in [0, \frac{π}{4}]$ ， $\sin 2 θ = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 已知 $α$ 为锐角， $\cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} + \frac{α}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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3. 若 $\tan (\frac{π}{4} - x) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 x =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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4. 若 $\sin (\frac{π}{2} - 2 α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin^{4} α - \cos^{4} α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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5. 已知 $\sin θ = \frac{m - 3}{m + 5}$ ， $\cos θ = \frac{4 - 2 m}{m + 5}$ $(\frac{π}{2} < θ < π)$ ，则 $\tan \frac{θ}{2}$ 等于（）

A、 $\frac{m - 3}{9 - m}$ B、 $| \frac{m - 3}{9 - m} |$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $5$

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6. 下列四个等式：
① $\tan 25 ° + \tan 35 ° + \sqrt{3} \tan 25 ° \tan 35 ° = \sqrt{3}$ ；② $\frac{\tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °} = 1$ ；③ $\cos^{2} \frac{π}{8} - \sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{1}{2}$ ；④ $\frac{1}{\sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} = 4$ ．

其中正确的等式个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知 $α \in (0, π)$ ， $2 \sin α + \cos α = 1$ ，则 $\frac{\cos 2 α}{1 - \sin 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $- 7$ D、 $- \frac{1}{7}$

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8. 若 $\sin α + \cos α = \frac{4}{3}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $\sin α - \cos α$ 的值是（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、多选题

9. 若 $\tan 2 x - \tan (x + \frac{π}{4}) = 5$ ，则 $tan x$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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10. 下列各式的值计算正确的是（）

A、 $\sin 30^{°} \cos 0^{°} = 0$ B、 $- \sin^{2} \frac{π}{6} + \cos^{2} \frac{7}{6} π = - 1$ C、 $\sqrt{3} (\tan 55^{°} - \tan 25^{°}) - \tan 55^{°} \cdot \tan 25^{°} = 1$ D、 $\sqrt{\frac{1 - \cos 60^{°}}{2}} = \frac{1}{2}$

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11. 下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、2sin15°cos15° B、 $\frac{1 + t a n 15 °}{2 (1 - t a n 15 °)}$ C、1﹣2sin²15° D、 $\frac{3 t a n 15 °}{1 - t a n^{2} 15 °}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有1个零点 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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三、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (\frac{3 π}{4} - α) =$ ； $\sin 2 α =$ .

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14. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (1 ， - 2)$ ，则 $\tan 2 α$ 的值为．

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15. 已知 $- \frac{π}{2} < x < 0$ ， $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$ ，则 $2 \sin x \cos x - \cos^{2} x$ 的值为.

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16. 函数 $f (x) = 1 + \sin^{2} x$ 的最小正周期是．

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17. 已知 $6 \sin α \cos α = 1 + \cos 2 α$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ .

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18. 函数 $f (x) = \cos 2 x + \cos x$ 的最小值等于．

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四、解答题

19. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}, cos α = \frac{3}{5}, cos (β + α) = \frac{5}{13}$ ．

(1)、求 $sin β$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin 2 α}{{cos}^{2} α + cos 2 α}$ 的值．

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20. 已知 $\sin (π - α) = 3 \cos (2 π + α)$ ，其中 $α$ 为锐角，

(1)、求 $10 \sin^{2} (π + α) - \sqrt{10} \sin (\frac{π}{2} + α) + \tan (3 π - α)$ 的值；

(2)、求 $(\cos 2 α - \sin 2 α) \cdot \tan 2 α$ 的值.

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21. 已知角 $θ$ 满足 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，求下列各式的值：
（Ⅰ） $\frac{\sin θ + \sin 2 θ}{1 + \cos θ + \cos 2 θ}$ ；

（Ⅱ） $\cos 2 θ + \sin 2 θ$ .

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22. 已知 $f (x) = \sin x + 2 \sin (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) \cos (\frac{π}{4} + \frac{x}{2})$ .

(1)、若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，求α的值；

(2)、若 $s i n \frac{x}{2} = \frac{4}{5}$ ， $x \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求f(x)的值.

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23. 求下列各式的值.

(1)、 $\cos 20^{°} \cos 40^{°} \cos 80^{°}$ ；

(2)、 $\sqrt{3} \tan 10^{°} + 4 \cos 80^{°}$ .

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24. 已知α，β为锐角， $\tan α = \sqrt{2}, \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求cos2α的值；

(2)、求tan(β-α)的值.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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