江苏省连云港市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列表述正确的是（）

A、 ${a ， b} \subseteq {b ， a}$ B、 ${a} \in {a ， b}$ C、 $a \subseteq {a}$ D、 $0 \in \emptyset$

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2. 下列函数与函数 $y = x$ 是同一个函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$ C、 $s = \sqrt{t^{2}}$ D、 $m = \frac{n^{2}}{n}$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ B、不存在 $x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$

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4. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列各式中，恒等的是（）

A、 $\lg x \cdot \lg y = \lg x + \lg y$ B、 $\lg x^{2} = {(\lg x)}^{2}$ C、 $\ln x^{\frac{1}{n}} = \frac{\ln x}{n}$ D、 $\frac{\ln x}{n} = \ln \frac{x}{n}$

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5. 设 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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6. 设函数 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = x^{2} - x - 1$ .用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = \max {f (x) ， g (x)}$ ，则 $M (x)$ 的最小值是（）

A、1 B、3 C、0 D、 $- \frac{5}{4}$

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7. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 $y$ （ppm）与排气时间 $t$ （分钟）之间存在函数关系 $y = {(\frac{1}{2})}^{m t - 7}$ （ $m$ 为常数）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（）

A、16分钟 B、24分钟 C、32分钟 D、40分钟

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8. 对于集合 $A$ ， $B$ ，我们把集合 ${x | x \in A ，且 x \notin B}$ 叫做集合 $A$ 与 $B$ 的差集，记做 $A - B$ .例如， $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则有 $A - B = {1 ， 2}$ ， $B - A = {4}$ .若集合 $P = (3 ， 5)$ ，集合 $Q = {x | (x + a) (x + 2 a - 1) < 0}$ ，且 $P - Q = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， - 2)$ B、 $[- 3 ， - 2]$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a^{2} < a b < b^{2}$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）

A、“ $a$ ， $b$ 都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 B、“ $a^{2} < 1$ ”是“ $a < 1$ ”的必要不充分条件 C、设 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + a c$ ”是“ $a = b = c$ ”的充要条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \geq 2$ 且 $b \geq 2$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件

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11. 对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，下列判断正确的是（）

A、若 $f (2) > f (- 2)$ ，则函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数 B、若 $f (2) < f (- 2)$ ，则函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不是增函数 C、若 $f (2) = f (- 2)$ ，则函数 $f (x)$ 是偶函数 D、若 $f (2) \neq f (- 2)$ ，则函数 $f (x)$ 不是偶函数

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12. 已知正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $3^{x} = 4^{y} = 6^{z}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} = \frac{1}{z}$ B、 $3 x < 4 y < 6 z$ C、 $x y < 2 z^{2}$ D、 $\frac{x + y}{z} > \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， & x \geq 0 \\ x^{2} ， & x < 0 \end{array}$ 则 $f (f (- 2)) =$ .

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14. 函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x (2 - x)$ ，则 $f (2) =$ .

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15. 物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式 $I = \frac{1}{2} ρ v A^{2} ω$ 表示，其中 $v$ 表示声速， $ω$ 和 $A$ 分别是声波的频率和振幅， $ρ$ 是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级 $L = \lg \frac{I}{I_{0}}$ .通常规定 $I_{0} = 10^{- 20} W / m^{2}$ （相当于1000 Hz时能够引起听党的最弱的声强），这时计算出来的 $L$ 就是声强 $I$ 的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的 $\frac{1}{10}$ 作单位；这就是分贝（dB）： $L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ .当被测量的声强 $I$ 为声强 $I_{0}$ 的1000倍时，声强级 $L$ 是分贝.

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16. 若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $A \cup B = B$ ；② $A \cap B = \emptyset$ ；③ $A \cap B = B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数 $a$ 存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合 $A = {x | (x - a) (x - a - 1) < 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，是否存在实数 $a$ ，使得__________？

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18. 记函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x + 1}$ 的定义域为集合 $A$ ，函数 $g (x) = x^{2} + 2 x + 3$ 的值域为集合 $B$ ， $U = R$ ，求：

(1)、 $A$ ， $B$ ；

(2)、 $A \cup B$ ， $A \cap ∁_{U} B$ .

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19.

(1)、已知 $a + a^{- 1} = 7$ ，求 $a^{2} + a^{- 2}$ 及 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ 的值；

(2)、已知 $\lg 3 = a$ ， $\lg 5 = b$ ，用 $a$ ， $b$ 分别表示 $\log_{5} 3$ 和 $\lg 3.6$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(0 ， 3)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若满足不等式组 ${\begin{array}{l} f (x) > 0 \\ f (x + t) < 0 \end{array}$ 的整数解有且只有一个，求正实数 $t$ 的取值范围.

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21. 假设某人从事某项投资，他第一次投入 $a$ 元，得到的利润是 $b$ 元，收益率是 $\frac{b}{a}$ .

(1)、若第二次他又投入 $x$ 元，得到的利润是 $c x$ 元，求此人两次投资的总收益率；

(2)、在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资 $x$ 元，每次得到的利润也都是 $x$ 元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断.

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22. 已知 $f (x) = x \cdot | x |$ ， $x \in R$ .

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、设 $g (x) = f (x) + k x - k$ ， $k \in R$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值.

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