江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高一上学期数学阶段性调研测试试卷

试卷更新日期：2020-12-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$ C、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 0$

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3. 已知 $\lg 2 = a$ ， $\lg 3 = b$ ，则 $\lg 120 =$ （）

A、 $1 + a + b$ B、 $1 + a + 2 b$ C、 $1 + 2 a + b$ D、 $2 + 2 a + b$

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4. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、10 D、20

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是 $x^{2} - 7 x + 9 < 0$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，且 $f (7) = 3 f (3) + 3$ ，则 $f (5) =$ （）

A、16 B、8 C、6 D、2

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8. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某 $K$ 地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I (t)$ ( $t$ 的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.24 (t - 53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数.当 $I (t^{*}) = 0.9 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）
(注： $e$ 为自然对数的底数， $\ln 9 \approx 2.2$ )

A、60 B、62 C、66 D、69

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9. 下列四个函数中为减函数的是（）

A、 $f (x) = - 2 x + 1$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = 2 x^{2}$

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二、多选题

10. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a^{n} > b^{n}$ B、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $a - b > - 1$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $a b \geq \frac{1}{4}$

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12. 取整函数： $[x]$ =不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ .以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（）

A、 $\exists x \in R$ ， $[3 x] = 3 [x] + 2$ B、 $\forall x, y \in R$ ， $[x] = [y]$ ，则 $| x - y | < 1$ C、 $\forall x, y \in R$ ， $[x + y] \leq [x] + [y]$ D、 $\forall x \in R$ ， $[x] + [x + \frac{1}{2}] \leq [2 x]$

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{7 + 6 x - x^{2}}$ 的定义域是.

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14. 海伦公式亦叫海伦-秦九韶公式，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ .已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为.

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15. 已知 $a > b > 1$ ，若 $\log_{a} b + \log_{b} a = \frac{10}{3}$ ， $a^{b} = b^{a}$ ，则 $a b =$ .

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四、双空题

16. 函数 $y = f (x)$ 的部分对应值如下表所示，对于任意 $n \in N^{*}$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上.已知 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2}$ 的值是， $a_{2020}$ 的值是.

x

1

2

3

4

3

1

2

4

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五、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 ${(\frac{25}{9})}^{\frac{1}{2}} - {(\lg 5)}^{0} + {(\frac{27}{64})}^{- \frac{1}{3}}$ (注意：最后一项的指数是 $- \frac{1}{3}$ ，不是 $\frac{1}{3}$ )

(2)、 $\log_{4} 9 - \log_{2} \frac{3}{32} + 2^{\log_{2} 3}$ $+ \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$ .

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18. 设不等式 $x^{2} \leq 5 x - 4$ 的解集为 $A$ ，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (2 a + 1) x + a (a + 1) \leq 0$ 的解集为 $M$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、条件 $p$ ： $x \in M$ ，条件 $q$ ： $x \in A$ ， $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知集合 $A = {1, 2}$ ，函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ .

(1)、若 $f (1) = 0$ ，且对于任意实数 $x$ ，均有 $f (x) \geq f (1)$ 成立，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、 $B = {x | f (x) = 0}$ ，若 ${1} \subseteq B \subseteq A$ ，求 $a$ ， $b$ 的值.

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20. 某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

(1)、据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？

(2)、为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价 $x (x \geq 16)$ 元，并投入 $\frac{33}{4} (x - 16)$ 万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少 $\frac{0.45}{{(x - 15)}^{2}}$ 万瓶，则当每瓶售价 $x$ 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

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21. 已知函数 $g (x) = x^{3}$ .

(1)、证明函数 $g (x) = x^{3}$ 在 $R$ 上是增函数；

(2)、一般地，设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $A$ ，如果对于任意的 $x \in A$ ，都有 $- x \in A$ ，并且 $f (- x) = - f (x)$ ，那么称函数 $y = f (x)$ 是奇函数.证明函数 $g (x) = x^{3}$ 是奇函数；

(3)、解不等式 ${(2 x - 1)}^{3} + x^{3} > 0$ .(参考公式： $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ )

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22. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x$ ，满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ 则称 $f (x)$ 为“局部反比例对称函数”.

(1)、已知一次函数 $f (x) = x + \frac{1}{2}$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“局部反比例对称函数”？并说明理由；

(2)、若 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 7$ 是定义在区间 $[1, + \infty)$ 上的“局部反比例对称函数”，求实数 $m$ 的取值范围.

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