人教A版（2019）必修一 5.5 两角和与差的正弦、余弦公式

试卷更新日期：2020-12-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $α, β$ 均为锐角，则角 $β$ 等于（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2. $\sin 45^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} + \cos 45^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ}$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知 $\sin (α - β) \cos β + \cos (α - β) \sin β = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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4. 若 $α \in [0, π]$ ， $\sin \frac{α}{3} \sin \frac{4 α}{3} + \cos \frac{α}{3} \cos \frac{4 α}{3} = 0$ ，则 $α$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知 $α$ 为锐角，且 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$

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6. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $\sin β = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，且 $\cos (α - β) = \frac{3}{5}$ ，则 $α$ 的值（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 内有且仅有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3} ， \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{8}{3} ， \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{10}{3} ， \frac{13}{3}]$ D、 $[\frac{10}{3} ， \frac{13}{3})$

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8. 若A是三角形 $Δ A B C$ 中的最小内角，则 $\sin A - \cos A$ 的取值范围是

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $(- 1, \frac{\sqrt{3} - 1}{2})$ C、 $[- 1, \frac{\sqrt{3} - 1}{2}]$ D、 $(- 1, \frac{\sqrt{3} - 1}{2}]$

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9. 已知 $\sin (β - α) \cos β - \cos (α - β) \sin β = \frac{3}{5}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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10. 已知 $α, β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $\cos β = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{7 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$ 或 $\frac{7 π}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (ω x + φ) - \sqrt{6} \cos (ω x + φ)$ 是 $R$ 上的奇函数，则 $\tan φ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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12. 已知 $- \frac{π}{2} < α - β < \frac{π}{2}$ ， $s i n α - 2 \cos β = 1$ ， $c o s α + 2 s i n β = \sqrt{2}$ ，则 $s i n (β - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

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13. $\frac{\sin 47^{\circ} - \sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14. 已知 $α$ 满足 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} + α) \cos (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{18}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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15. 下列三个命题：①存在实数 $α$ ，使得 $\sin α \cdot c o s α = 1$ 成立；②存在实数 $α$ ，使 $s i n α + c o s α = \frac{3}{2}$ 成立；③若 $\cos α \cdot \cos β = 1$ ，则 $s i n (α + β) = 0$ .其中正确命题是（）

A、①和② B、②和③ C、仅有② D、仅有③

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二、填空题

16. 若 $\cos (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos α \cos β =$ .

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17. 若 $0 < α < \frac{π}{4}$ ， $- \frac{π}{4} < β < 0$ ， $\cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ， $\cos (\frac{π}{4} - \frac{β}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{β}{3}) =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x .$

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 及f(x)的最小正周期；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}] ，$ 求f(x)的值域.

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19. 已知 $α, β$ 都是锐角，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\sin (α - β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值.

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20. 在 $Δ A B C$ 中，三个内角分别为 $A 、 B 、 C$ ，已知 $\sin (A + \frac{π}{6}) = 2 \cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $B \in (0, \frac{π}{3})$ ，且 $\cos (A - B) = \frac{4}{5}$ ，求 $\sin B$ .

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21. 已知 $f (α) = \frac{\sin (5 π - α) \cos (π + α) \cos (\frac{3 π}{2} + α)}{\cos (α + \frac{π}{2}) \tan (3 π - α) \sin (α - \frac{3 π}{2})}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 是第三象限角，且 $\cos (\frac{π}{6} + α) = - \frac{3}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = sin 2 x + cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，其中 $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的递增区间.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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