人教A版（2019）必修一 5.4 正弦函数、余弦函数的图像与性质

试卷更新日期：2020-12-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知点 $A (\frac{π}{24} ， 0)$ 在函数 $f (x) = \cos (2 ω x + φ)$ （ $ω > 0$ 且 $ω \in N^{*}$ ， $0 < φ < π$ ）的图象上，直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴．若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 内单调，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知当 $x = \frac{π}{3}$ 时， $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 取得最大值，则下列说法正确的是（）

A、 $x = \frac{7 π}{12}$ 是 $y = f (x)$ 图像的一条对称轴 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 上单调递增 C、当 $x = - \frac{2 π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得最小值 D、函数 $y = f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数

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3. 在 $[0 ， 2 π]$ 上，满足 $\sin x ⩾ \frac{1}{2}$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{5 π}{6} ， π]$

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4. 函数 $y = 5 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象的一条对称轴方程是（）

A、 $x = - \frac{π}{12}$ B、 $x = 0$ C、 $x = \frac{π}{6}$ D、 $x = \frac{π}{3}$

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5. 同时具备以下性质：“①最小周期是 $π$ ；②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；③在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数；④一个对称中心为 $(\frac{π}{12} ， 0)$ ”的一个函数是（）

A、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ )在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调，且 $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3}) = - f (\frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、2π D、4π

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7. 已知 $a = {(\sin 2)}^{2}$ ， $b = 2^{\sin 2}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} (\sin 2)$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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8. 下列关系式中正确的是（）

A、 $\sin 11 ° < \cos 20 ° < \sin 160 °$ B、 $\sin 11 ° < \sin 160 ° < \cos 20 °$ C、 $\sin 160 ° < \sin 11 ° < \cos 20 °$ D、 $sin 160 ° < \cos 20 ° < \sin 11 °$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x)$ ，则 $φ$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10. 若函数 $f (x) = \cos (ω x - φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的两相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $x = - \frac{π}{6}$ 时 $f (x)$ 有最大值，则下列结论成立的是（）

A、 $f (\frac{π}{12}) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{2 π}{3}$ 对称

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11. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点．下面论述正确的是（）．

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有2个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{10})$ 单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5} ， \frac{29}{10})$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \cos x | ， \sin x \geq \cos x \\ | \sin x | ， \sin x < \cos x \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 是以 $π$ 为最小正周期的周期函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π)$ 上有 $2$ 个零点

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13. 下面关于 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 叙述中正确的是（）

A、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调 D、函数 $f (x)$ 的零点为 $\frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

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三、填空题

14. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \cos \frac{π}{2} x ， 0 \leq x \leq 4 \\ \log_{\frac{1}{4}} (x - 3) + 1 ， x > 4 \end{cases}$ ，若实数 $a ， b ， c$ 互不相等，且满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是.

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15. 函数 $y = 2 \sin (\frac{π}{4} - x)$ 的一个单调递减区间是.

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16. 关于函数f（x）= $\sin x + \frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是．

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17. 函数 $y = 3 \cos (2 x + \frac{π}{3}) ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的最小值为.

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18. 函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减，则正实数 $ω$ 的取值范围是．

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四、解答题

19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 为图象的一个对称中心，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上的值域.

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20. 若函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且当 $x = \frac{2 π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得最小值.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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21. 设函数 $f (x) = a \sin (2 x + \frac{π}{3}) + b$ .

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[1 ， 3]$ ，求 $a ， b$ 的值.

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22. 设函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) ， x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值和最大值，并求出取最值时 $x$ 的值．

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人教A版（2019） 必修一 5.4 正弦函数、余弦函数的图像与性质

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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