江苏省镇江市八校2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {y | y = \log_{2} x, x > 1}$ ， $B = {y | y = \frac{1}{x}, x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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2. 已知 $\frac{a + i}{1 - 2 i} = i$ （ $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ），则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（）

A、 $\frac{8}{27}$ B、 $\frac{64}{81}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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4. “ $\sin 2 α = \frac{4}{5}$ ”是“ $\tan α = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知二面角 $α - l - β$ ，其中平面的一个法向量 $\vec{m} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\vec{n} = (0 ， - 1 ， 1)$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小可能为（）

A、60° B、120° C、60°或120° D、30°

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6. 曲线 $y = x - x^{2}$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程是（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即 $F (1) = F (2) = 1$ ， $F (n) = F (n - 1) + F (n - 2)$ （ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列 ${a_{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2020项的和为（）

A、1348 B、1358 C、1347 D、1357

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d > 0$ ， $a_{6}$ 和 $a_{8}$ 是函数 $f (x) = \frac{15}{4} \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - 8 x$ 的极值点，则 $S_{8} =$ （）

A、－38 B、38 C、－17 D、17

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二、多选题

9. 如图 $P A$ 垂直于以 $A B$ 为直径的圆所在的平面，点 $C$ 是圆上异于 $A$ ， $B$ 的任一点，则下列结论中正确的是（）

A、 $P C ⊥ B C$ B、 $A C ⊥$ 平面 $P C B$ C、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ D、平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有1个零点 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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11. 如图，以等腰直角三角形斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，把 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（）

A、 $\vec{B D} \cdot \vec{A C} \neq 0$ ； B、 $∠ B A C = 60 °$ ； C、三棱锥 $D - A B C$ 是正三棱锥； D、平面 $A D C$ 的法向量和平面 $A B C$ 的法向量互相垂直.

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12. 已知圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 72$ ，若直线 $x + y - m = 0$ 垂直于圆 $C$ 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、10

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三、填空题

13. 不等式 $\frac{x - 2}{x + 3} > 0$ 的解集是．

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14. 已知随机变量 $X$ 的概率分布如表所示，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，当 $b$ 取最大值时， $E (X) =$ ．

$X$

-1

0

1

$P$

$a$

$b$

$c$

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15. 在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为.

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四、双空题

16. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，定义 ${a_{n}}$ 的“优值”为 $H_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ ，现已知 ${a_{n}}$ 的“优值” $H_{n} = 2^{n}$ ，则 $a_{n} =$ ， $S_{n} =$ ．

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五、解答题

17. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{x}$ ，正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = f (\frac{1}{a_{n - 1}})$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < 2$ ．

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18. 在① $\sin B \sin C = \frac{1}{4}$ ；② $\tan B + \tan C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.
在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\tan B \tan C = \frac{1}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， .

(1)、求角 $A, B, C$ 的大小；

(2)、求 $Δ A B C$ 的周长和面积.

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19. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线： $x - \sqrt{3} y = 4$ 相切．

(1)、求圆O的方程；

(2)、若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线MN的方程．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A D = 1$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ 和 $P D$ 中点.

(1)、求证：直线 $A F / /$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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21. 偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差

x

（单位：分）与物理偏差

y

（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差 $x$	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差 $y$	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

(1)、若

x

与

y

之间具有线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．

参考数据： $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{i = 8} x_{i} y_{i} = 20 \times 6.5 + 15 \times 3.5 + 13 \times 3.5 + 3 \times 1.5 + 2 \times 0.5 + (- 5) \times (- 0.5) + (- 10) \times (- 2.5) + (- 18) \times (- 3.5) = 324 \\ \sum_{i = 1}^{i = 8} x_{i}^{2} = 20^{2} + 15^{2} + 13^{2} + 3^{2} + 2^{2} + {(- 5)}^{2} + {(- 10)}^{2} + {(- 18)}^{2} = 1256 \end{array}$

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22. 已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 4 a x) \ln x + x^{2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 [1，+∞）上的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 [1，+∞）上的最小值为1，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a > \frac{1}{e}$ ，讨论函数 $f (x)$ 在 [1，+∞）上的零点个数．

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$X$	-1	0	1
$P$	$a$	$b$	$c$