江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{5 i}{3 - 4 i}$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点的坐标为（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

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2. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {y | y = 3^{x} - 2^{x + 1}, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1}$

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3. 已知点 $P (- 1, 3 \tan \frac{5 π}{6})$ 是角 $θ$ 终边上一点，则 $\cos θ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 在边长为 $2$ 的等边 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A P} = \vec{P D}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{5}{2}$

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5. 将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（）

A、10 B、12 C、14 D、24

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6. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在同一球面上，且 $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A A_{1} = 4 \sqrt{2}$ ，则该球的表面积为（）

A、40π B、21π C、10π D、8π

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7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾²+股²=弦²”，设直线 $l$ 交抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| O A |$ ， $| O B |$ 恰好是 $R t △ O A B$ 的“勾”“股”（ $O$ 为坐标原点），则此直线 $l$ 恒过定点（）

A、 $(\frac{1}{4}, 0)$ B、 $(\frac{1}{2}, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 4)$

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8. 已知函数 $f (x) = - x^{2} - 8 x - 5$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e x}{e x}$ ，实数 $m$ ， $n$ 满足 $m < n < 0$ ，若 $\forall x_{1} \in$ $[m ， n]$ ， $\exists x_{2} \in$ $(0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则 $n - m$ 的最大值为（）

A、7 B、6 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 设 $α$ ， $β$ 为两个平面，则下列条件中是“ $α // β$ ”成立的必要不充分条件有（）

A、 $α$ 内有无数条直线与平行 B、 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行 C、 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面 D、 $α$ ， $β$ 平行于同一平面

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10. 下列条件能使 $\log_{a} 3 < \log_{b} 3$ 成立的有（）

A、 $b > a > 0$ B、 $1 > a > b > 0$ C、 $b > \frac{1}{a} > 1$ D、 $1 > \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 B、若 $\cos A > \cos B$ ，则 $\sin A < \sin B$ C、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$ D、若 $△ A B C$ 是钝角三角形，则 $\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A < 3$

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12. 已知由样本数据点集合 ${(x_{i}, y_{i}) | i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots, n}$ ，求得的回归直线方程为 $y = 1.5 x + 0.5$ ，且 $\bar{x} = 3$ ，现发现两个数据点 $(1.2, 2.2)$ 和 $(4.8, 7.8)$ 误差较大，去除后重新求得的回归直线 $l$ 的斜率为 $1.2$ ，则（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 具有正相关关系 B、去除后 $y$ 的估计值增加速度变快 C、去除后与去除前均值 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 不变 D、去除后的回归方程为 $y = 1.2 x + 1.4$

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三、填空题

13. 已知 $x, y \in R$ ，且 $x - 2 y = 2$ ，则 $2^{x} + {(\frac{1}{4})}^{y}$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $y = \sin x - \cos x$ ，其图象的对称轴中距离 $y$ 轴最近的一条对称轴方程为 $x =$ .

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15. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，以原点为圆心，半径为椭圆 $C$ 的半焦距的圆恰与椭圆四个顶点围成的四边形的四边都相切，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $x \in (5 - m^{2} ， m - 1)$ 的值域为 $[a ， b] (b > a)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{5} = 12$ ， $S_{4} = 4 S_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在① $2 a - b = 2 c \cos B$ ，② $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ $(a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，③ $\sqrt{3} \sin (A + B) = 1 + 2 \sin^{2} \frac{C}{2}$ 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知________.

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $b = 4$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线， $△ C D B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边长 $a$ 的值.

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19. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 是 $A A_{1}$ 的中点， $B D$ 与 $A B_{1}$ 交于 $O$ ，且 $C O ⊥$ 面 $A B B_{1} A_{1}$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若 $O C = O A$ ，求二面角 $D - B C - A$ 的正弦值.

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20. 标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率

z

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

（附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则① $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ；② $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ；③ $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ；另： ${0.9987}^{10} \approx 0.9871$ ）

(1)、假设生产状态正常，记

X

表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于

μ - 3 σ

的数量，求

P (X \geq 1)

及

X

的数学期望；

(2)、下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0.9376	0.9121	0.9424	0.9572	0.9518	0.9058	0.9216	0.9171	0.9635	0.9268

经计算得： $\bar{x} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 0.9335$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \approx 0.0189$ （其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个口罩的过滤率）用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本标准差 $s$ 作为 $σ$ 的估计值，利用该正态分布，求 $P (z \geq 0.9524)$ （精确到 $0.001$ ）

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且过点 $A (2 \sqrt{2} ， - 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 右支相切（切点不为右顶点），且 $l$ 分别交双曲线 $C$ 的两条渐近线与 $M$ 、 $N$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求证： $△ M O N$ 面积为定值，并求出该定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ .

(1)、若 $x < 2$ ，求证： $f (x) < f (4 - x)$ ；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - a$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ .
①求实数 $a$ 的范围；

②求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ .

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