江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合M＝ ${x | \log_{2} x < 1}$ ，集合N＝ ${x | - 2 < x < 1}$ ．则M $\cap$ N＝（）

A、(0，1) B、(﹣2，2) C、(0，2) D、(﹣2，1)

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2. 设 $a ， b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则“ $a b = 0$ ”是“复数 $a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现： $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知， $e^{i π}$ ＝（）

A、1 B、0 C、－1 D、1＋i

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4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（）

A、128.4米 B、132.4米 C、136.4米 D、110.4米

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5. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ．若 $\vec{B D} = λ \vec{A E} +$ $μ \vec{A F}$ ，则实数 $λ$ ＋ $μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{7}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{\sin x + x}{3^{x} + 3^{- x}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 $f (x) = {\begin{array}{l} 40 \sin (\frac{π}{3} x) + 13 ， 0 \leq x < 2 \\ 90 \cdot e^{- 0.5 x} + 14 ， x \geq 2 \end{array}$ ．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n $\in N^{*}$ )小时才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别

阈值（mg/100mL)

饮酒驾驶

$[20 ， 80)$

醉酒驾驶

$[80 ， + \infty)$

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 若实数a，b，c满足 $2^{a} = \log_{2} b = \log_{3} c = k$ ，其中 $k \in (1 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{b} > b^{c}$ B、 $\log_{a} b > \log_{b} c$ C、 $a > \log_{b} c$ D、 $c^{b} > b^{a}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a}$ ＝(－3，2)， $\vec{b}$ ＝(－1，0)，则下列选项正确的有（）

A、( $\vec{a}$ ＋ $\vec{b}$ ) $\cdot$ $\vec{b}$ ＝4 B、( $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ )⊥ $\vec{b}$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$ D、 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x (a < 0)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（）

A、abc＜0 B、 $f (x)$ 在区间[0，3]的最大值为0 C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、 $f (x)$ 的极大值是正数

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11. 某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式 $S (t) = 3 \sin (\frac{π}{12} t + \frac{5 π}{6})$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $S (t)$ 在[0，2]上的平均变化率为 $\frac{3}{4}$ m/h B、相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h C、当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D、18时潮水起落的速度为 $\frac{π}{8}$ m/h

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12. 在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A₁B₁C₁D₁上的动点，且AP⊥D₁Q，则下列说法正确的有（）

A、DP与D₁Q所成角的最大值为 $\frac{π}{4}$ B、四面体ABPQ的体积不变 C、△AA₁Q的面积有最小值 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、平面D₁PQ截正方体所得截面面积不变

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三、填空题

13. 已知 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则cos2 $θ$ 的值为．

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14. 乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多cm² ．

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15. 已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 $\frac{y}{x} + \frac{2}{x y}$ 的最小值为．

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16. 已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB＝BC＝1，AC＝ $\sqrt{3}$ ，侧棱AA₁＝2，则该三棱柱外接球的体积为．

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四、解答题

17. 设集合A＝ ${x | \frac{x + 1}{x - 2} < 0}$ ，B＝ ${x | x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 < 0}$ ．

(1)、当m＝2时，求A $\cap$ B；

(2)、若A $\cup$ B＝B，求实数m的取值范围．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ ＝( $\sqrt{3}$ cosx，－1)， $\vec{b}$ ＝(sinx，cos²x)，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间[ $- \frac{π}{2}$ ，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①(b﹣3c)cosA＋acosB＝0；②sin² $\frac{B + C}{2}$ ＋cos2A＝ $- \frac{1}{9}$ ；③ $\frac{a}{b} = \frac{1 + \cos A}{\sqrt{2} \sin B}$ ；并解答以下问题：

(1)、若选________（填序号），求cosA的值；

(2)、在（1）的条件下，若a＝2，求 $△ A B C$ 面积S的最大值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D = 2$ ， $A B = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ， $△ B C D$ 为正三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点， $D E = P E$ ， $P D ⊥ B C$ ．

(1)、求证：平面 $P D E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - B C - D$ 的余弦值；

(3)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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21. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ， $g (x) = f (x) + f (| x |)$ ．

(1)、解不等式： $f (2 x) - f (x + 1) > 3$ ；

(2)、当 $x \in [- 1 ， \frac{1}{2}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、若 $\forall x_{1} \in$ (0， $+ \infty$ )， $\exists x_{2} \in$ [﹣1，0]，使得 $g (2 x_{1}) + a g (x_{1}) + 2 g (x_{2}) > 0$ 成立，求实数 a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \ln x$ ， $g (x) = k x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的切线，求实数k的值；

(3)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有两个不同交点A( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )，B( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )，求证： $x_{1} x_{2} > 1$ ．

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驾驶行为类别	阈值（mg/100mL)
饮酒驾驶	$[20 ， 80)$
醉酒驾驶	$[80 ， + \infty)$