江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 2}$ ， $B = {x | a x + 1 = 0}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则由实数 $a$ 的所有可能的取值组成的集合为（）

A、 ${\frac{1}{2}}$ B、 ${- \frac{1}{2}}$ C、 ${0, \frac{1}{2}}$ D、 ${0, - \frac{1}{2}}$

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2. “ $(2 x - 1) (x + 1) < 0$ ”是“ $x = 0$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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3. 函数 $y = \cos 2 x$ 的单调减区间是（）

A、 $[k π ， k π + \frac{π}{2}] ， k \in Z$ B、 $[\frac{π}{2} + 2 k π ， \frac{3 π}{2} + 2 k π] ， k \in Z$ C、 $[2 k π ， π + 2 k π] ， k \in Z$ D、 $[k π - \frac{π}{4} ， k π + \frac{π}{4}] ， k \in Z$

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4. 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 $A A_{1}$ 是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以 $A A_{1}$ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A、8 B、16 C、24 D、28

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5. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{3} + S_{6} = 0$ ，则 $\frac{a_{18}}{a_{9}} =$ （）

A、-512 B、-8 C、-2 D、-1

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6. 若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{3} = 5$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $5^{c} = 3$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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7. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{31 \sqrt{2}}{50}$ B、 $\frac{31 \sqrt{2}}{50}$ C、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{50}$ D、 $\frac{17 \sqrt{2}}{50}$

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8. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ， $f (0) = 2020$ ，则不等式 $f (x) > 2019 e^{- x} + 1$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (2019 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(2019 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 对于任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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10. 设正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值为4 B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$

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11. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 $f (x) = \cos x + \frac{\cos 5 x}{5} + \frac{\cos 9 x}{9}$ 近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 对称 C、对任意 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (π - x) = f^{'} (x)$ D、函数 $f^{'} (x)$ 的最小值为-3

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，点 $P$ 在四边形 $A B C D$ 内，点 $Q$ 在线段 $B N$ 上，若 $P M = 2 \sqrt{5}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹的长度为 $2 π$ B、线段 $M P$ 的轨迹与平面 $A D C_{1} B_{1}$ 的交线为圆弧 C、 $P Q$ 长度的最小值为 $\frac{6 \sqrt{5} - 10}{5}$ D、 $P Q$ 长度的最大值为 $2 \sqrt{5} + 2$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x}, x \leq 0 \\ f (- x), x > 0 \end{array}$ ，则 $f (\log_{3} 2) =$ .

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14. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是一个“堑堵”，其中 $A B = B B_{1} = 2$ ， $B C = 1$ ， $A C = \sqrt{5}$ ，则这个“堑堵”的外接球的表面积为.

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15. 已知圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A D = D C = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ .

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四、双空题

16. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - x) (x^{2} + a x + b)$ 的图象关于直线 x = 2 对称，则 a+b = ；函数 $y = f (x)$ 的最小值为 .

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五、解答题

17. 在① $a_{1} = 13$ ， $S_{10} = - 5$ ；② $a_{3} = 7$ ， $a_{7} = - 5$ ；③ $S_{3} = 30$ ， $S_{5} = 35$ 这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，以及使得 $S_{n}$ 取得最大值时 $n$ 的值.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，且 $B D = 3 A D$ .

(1)、若 $∠ B C D = 2 ∠ A C D$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $\cos A = \frac{1}{3}$ ，求 $\tan C$ 的值.

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $A_{1} A = 2$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A C$ ， $A_{1} A$ ， $C_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $C_{1} B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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20. 如图所示的某种容器的体积为 $18 π {dm}^{3}$ ，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为 $r dm$ ，圆柱的高为 $h dm$ .已知顶部半球面的造价为 $3 a$ 元 $/ {dm}^{2}$ ，圆柱的侧面造价为 $a$ 元 $/ {dm}^{2}$ ，圆柱底面的造价为 $\frac{2 a}{3}$ 元 $/ {dm}^{2}$ .

(1)、将圆柱的高 $h$ 表示为底面半径 $r$ 的函数，并求出定义域；

(2)、当容器造价最低时，圆柱的底面半径 $r$ 为多少？

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + b$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 3 = 0$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、对 $\forall x > 0$ ， $f (x) \leq x e^{x} - 3 x + m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．

(1)、求 $y = f (x)$ 的最值；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - k \ln x - e$ 有且只有2个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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