江苏省南通市2020-2021学年高三上学期数学期中考前热身试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、0 D、 $i$

查看试题解析
3. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时，满足 $f (x) = {\begin{matrix} - l o g_{2} (7 - 2 x), 0 < x \leq \frac{3}{2} \\ f (x - 3), x > \frac{3}{2} \end{matrix}$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2020) =$ （）

A、 $l o g_{2} 5$ B、 $- l o g_{2} 5$ C、-2 D、0

查看试题解析
4. 两正数 $a, b$ 的等差中项为 $\frac{5}{2}$ ，等比中项为 $\sqrt{6}$ ，且 $a > b$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

查看试题解析
5. 设函数 $f (x) = sin (\frac{1}{2} x + θ) - \sqrt{3} cos (\frac{1}{2} x + θ) (| θ | < \frac{π}{2})$ 的图像关于原点对称，则 $θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

查看试题解析
6. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作两条互相垂直的弦 $A B$ ， $C D$ ，则四边形 $A B C D$ 面积的最小值为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} + 2 S_{n - 1} = n$ ，则 $S_{2019}$ 的值为（）

A、1008 B、1009 C、1010 D、1011

查看试题解析
8. 设点 $P$ 为函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ 与 $g (x) = 3 a^{2} \ln x + b (a > 0)$ 的图像的公共点，以 $P$ 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数 $b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3} e^{\frac{2}{3}}$ B、 $\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3}}$ C、 $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{2}}$ D、 $\frac{3}{2} e^{\frac{3}{2}}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知0<b<a<1，c>1，则下列各式中不成立的是（）

A、a^b<b^a B、c^b>c^a C、log_ac>log_bc D、blog_ca>alog_cb

查看试题解析
10. 下列四个命题中正确的是（）

A、函数y＝a^x(a>0且a≠1)与函数y＝log_aa^x(a>0且a≠1)的定义域相同 B、函数y＝ $\sqrt{x}$ 与函数y＝3^x的值域相同 C、函数y＝|x＋1|与函数y＝2^x^＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数 D、 $y = \lg \frac{1 + x}{1 - x}$ 是奇函数

查看试题解析
11. 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是（）

A、若m∥l，且m⊥α，则l⊥α B、若m∥l，且m∥α，则l∥α C、若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n D、若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m

查看试题解析
12. 把函数 $y = \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变)，再将图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是（）

A、g(x)在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 B、g(x)的图象关于 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、g(x)的最小正周期为4π D、g(x)的图象关于y轴对称

查看试题解析

三、填空题

13. 若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝ $\frac{1}{y}$ ，P(B)＝ $\frac{4}{x}$ ，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为．

查看试题解析
14. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一点，则 $(\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B}) \cdot (\overset{⇀}{P C} + \overset{⇀}{P D})$ 的最小值为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， 0 < x \leq e \\ 2 - \ln x ， x > e \end{array}$ ，若 $a ， b ， c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、双空题

16. 将数列{a_n}中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．
a₁

a₂ ， a₃

a₄ ， a₅ ， a₆ ， a₇

a₈ ， a₉ ， a₁₀ ， a₁₁ ， a₁₂ ， a₁₃ ， a₁₄ ， a₁₅

……

记数阵中的第1列 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, \dots$ 构成的数列为 ${b_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和， $T_{n} = 5 n^{2} + 3 n$ ，则 $b_{n} =$ ， $a_{1025} =$ .

查看试题解析

五、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为d( $a_{1}$ $\in Z ， d \in Z$ )，前n项的和为 $S_{n}$ ，且
$S_{7} = 49 ， 24 < S_{5} < 26$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前n项的和为T_n，求T_n_。

查看试题解析
18. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos A＋ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ a＝c.

(1)、求cos B；

(2)、如图，D为 $△ A B C$ 外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝ $\sqrt{6}$ ，求AB的长．

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点.

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、若 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求二面角 $P - A C - S$ 的大小；

(3)、在（2）的条件下，侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E ∥$ 平面 $P A C$ .若存在，求 $S C ： S E$ 的值；若不存在，试说明理由.

查看试题解析
20. 在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量． $A$ 镇有基层干部60人， $B$ 镇有基层干部60人， $C$ 镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从 $A ， B ， C$ 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组， $[5 ， 15) ， [15 ， 25) ， [25 ， 35) ， [35 ， 45) ， [45 ， 55]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求这40人中有多少人来自 $C$ 镇，并估计 $A ， B ， C$ 三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)、如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从 $A ， B ， C$ 三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

查看试题解析
21. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆上的点到左焦点 $F_{1}$ 的距离的最大值为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求椭圆 $C$ 的外切矩形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知函数f(x)＝e^x－ax－a(其中e为自然对数的底数)．

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、若对任意x∈(0，2]，不等式f(x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、设n∈N^* ，证明： ${(\frac{1}{n})}^{n} + {(\frac{2}{n})}^{n} + {(\frac{3}{n})}^{n} + \dots + {(\frac{n}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$ .

查看试题解析