江苏省徐州市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设命题 $P ： \exists n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg P$ 为（）

A、 $\forall n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\exists n \in N ， n^{2} = 2^{n}$

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2. 下列结论正确的是（）

A、若a>b，c>d，则a-c>b-d B、若a>b，c>0，则ac>bc C、若ac>bc，则a>b D、若 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ，则a>b

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3. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a}$ ＜1”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{7}$ =8， $a_{11}$ =32，则 $a_{9}$ =（）

A、16 B、-16 C、20 D、16或-16

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5. 若不等式 $x^{2} + a x + 1 \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} + a_{2016} = 4$ ，S，是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则S₂₀₂₀=（）

A、2019 B、4040 C、2020 D、4038

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7. 正数a，b的等差中项是 $\frac{1}{2}$ ，且 $α = a + \frac{1}{a}$ ， $β = b + \frac{1}{b}$ ，则 $α + β$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 形如 $2^{2^{n}} + 1$ (n是非负整数)的数称为费马数，记为F_n数学家费马根据F₀ ， F₁ ， F₂ ， F₃ ， F₄都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F₅不是质数，请你估算F₅是（）位数(参考数据：lg2≈0.3010).

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、多选题

9. 下列各结论中正确的是（）

A、“xy>0”是“ $\frac{x}{y} > 0$ ”的充要条件 B、 $\sqrt{x^{2} + 9} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ 的最小值为2 C、若a<b<0，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若公比q不为1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n和 $S = A q^{n} + B$ ，则A+B=0

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10. 已知S_n是等差数列 ${a_{n}}$ (n∈N*)的前n项和，且S₅>S₆>S₄ ，以下有四个命题，其中正确的有（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的公差d<0 B、数列 ${a_{n}}$ 中S_n的最大项为S₁₀ C、S₁₀>0 D、S₁₁>0

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11. 已知 $a \in Z$ 关于x的一元二次不等式 $x^{2} - 8 x + a \leq 0$ 的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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12. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，称 $\frac{2 a b}{a + b}$ 为a，b的调和平均数， $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ 为a，b的平方平均数，如图，C为线段 $A B$ 上的点，且 $A C = a$ ， $B C = b$ ，O为 $A B$ 中点，以 $A B$ 为直径作半圆，过点C作 $A B$ 的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 $A B$ 的中点F，连接FC，则正确的是（）

A、BD的长度是a，b的算术平均数 B、OE的长度是a，b的调和平均数 C、CD的长度是a，b的几何平均数 D、FC长度是a，b的平方平均数

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三、填空题

13. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{\cos n π}{2}$ ，则它的第5项 $a_{5}$ =.

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14. 不等式 $\frac{1 - 2 x}{x + 4} \leq 0$ 的解集是.

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15. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{b + 1} \leq 1$ ，则 $2 a + 3 b$ 的最小值为.

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四、双空题

16. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

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五、解答题

17.

(1)、已知集合M={x|x²-3x-28≤0}，N={x|x²-x-2>0}，求M∩N；

(2)、已知不等式 $a x^{2} + b x - 1 > 0$ 的解集是{x|3<x<4}，求实数a，b的值.

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18. 在① $a_{3} = 5$ ， $a_{2} + a_{5} = 6 b_{2}$ ；② $b_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 3 b_{3}$ ；③ $S_{3} = 9$ ， $a_{4} + a_{5} = 8 b_{2}$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d > 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{1} = b_{1}$ ， $d = q$ ，_________；求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式.

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19. 已知p： $x^{2} \leq 5 x - 4$ ，q： $x^{2} - (a + 2) x + 2 a \leq 0$ .若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

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20. 如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m²的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m²；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m²；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为80元/m².

(1)、设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，求出S关于x的函数关系式；.

(2)、当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值.

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21. 已知 $S_{n}$ 是正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若不等式 $2 S_{n + 1} \leq M (n + a_{32}) a_{n + 2}^{2} (n \in N^{*})$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

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22. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3})$ ， $b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前n项和为Sn，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2}$ (n∈N*)；n为奇数，

(3)、对任意正整数n，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和.

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