江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x - 8)$ 的定义域为（）

A、 $(- 4, 2)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (2, + \infty)$

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2. 椭圆 $x^{2} + 9 y^{2} = 9$ 的焦距等于（）

A、2 B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 2 n$ B、 $a_{n} = 2 n - 1$ C、 $a_{n} = 3 n - 2$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ 2 n, n \geq 2 \end{array}$

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4. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若长轴长为6，离心率为 $\frac{1}{3}$ ，则此椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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5. 《庄子.天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过 $n$ 天，该木锤剩余的长度为 $a_{n}$ （尺），则 $a_{n}$ 与 $n$ 的关系为（）

A、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ B、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$ C、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ D、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$

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6. 已知“ $x > k$ ”是“ $e^{x^{2} - x - 2} > 1$ ”的充分条件，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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7. 设 $f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}$ ，则 $f (\frac{1}{21}) + f (\frac{2}{21}) + f (\frac{3}{21}) + \dots + f (\frac{20}{21})$ 的值为（）

A、11 B、8 C、10 D、20

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $\frac{2 y}{x} + \frac{8 x + y}{y} > m^{2} - 8 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 9$ B、 $- 9 < m < 1$ C、 $m \geq 9$ 或 $m \leq - 1$ D、 $m \geq 1$ 或 $m \leq - 9$

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二、多选题

9. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则m的取值为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、6 C、3 D、 $\frac{17}{3}$

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10. 下列各函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x}$ ， $x \in (0, π)$ C、 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ D、 $y = x - 2 \sqrt{x} + 3$

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11. 若方程 $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 表示椭圆 $C$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $k \in (1, 9)$ B、椭圆 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ C、若椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $k \in (1, 5)$ D、若椭圆 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上，则 $k \in (5, 9)$

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12. 下面命题正确的是（）

A、“ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = 1$ ”的必要条件 B、设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $\lg (a b) > 0$ ”是“ $\lg (a + b) > 0$ ”的充要条件 C、设 $x, y \in R$ ，则“ $x > y$ ”是“ $x^{2} > y^{2}$ ”的充要条件 D、命题“ $\forall x > 1$ ， $2 x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\exists x > 1$ ， $2 x + 1 \geq 0$ ”

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三、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 的周长为20，且顶点 $B (0, - 3)$ ， $C (0, 3)$ ，则顶点 $A$ 的轨迹方程是.

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14. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $2 a + b = 6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为.

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $5cm$ ，取 $A B C D$ 正方形各边中点 $E ， F ， G ， H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的中点 $I ， J ， K ， L$ ，作第3个正方形 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去.则从正方形 $A B C D$ 开始，连续10个正方形的面积之和是 ${cm}^{2}$ .

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四、双空题

16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，如果椭圆C上存在一点P，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于4，则实数b的值为，实数a的取值范围为.

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五、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{6} = 2$ ， $a_{4} = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及相应的 $n$ 的值.

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18. 已知椭圆的两焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，短轴长为2.

(1)、椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 且斜率为1的直线交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求线段 $A B$ 的长度.

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19. 沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花节.2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米.

(1)、设所用隔离带的总长度为 $l$ 米，垂直于墙的边长为 $x$ 米.试将 $l$ 表示成 $x$ 的函数，并确定这个函数的定义域；

(2)、当 $x$ 为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？

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20. 在① $a_{3} = 5$ ， $a_{2} + a_{5} = 6 b_{2}$ ；② $b_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 3 b_{3}$ ；③ $S_{3} = 9$ ， $a_{4} + a_{5} = 8 b_{2}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d > 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{1} = b_{1}$ ， $d = q$ ， ________

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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21. 若关于 $x$ 的不等式 $(a - 5) x^{2} - 4 x + 6 < 0$ 的解集是是 ${x | x < - 3$ 或 $x > 1}$ ..

(1)、解不等式 $2 x^{2} + (2 - a) x - a > 0$ ；

(2)、若对于任意 $x \in [2, 5]$ ，不等式 $a x^{2} + b x + 3 \geq 0$ 恒成立，求 $b$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点坐标为 $(- 2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = - x + m$ 交椭圆于不同的两点 $A$ 、 $B$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设点 $C (- 2, 2)$ ，是否存在实数 $m$ ，使得 $△ A B C$ 的面积为 $1$ ？若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，说明理由.

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