江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题 $\forall x \in R ， x^{2} + 3 a x + 1 > 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} + 3 a x + 1 \leq 0$ B、∃x∈ $R ， x^{2} + 3 a x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} + 3 a x + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} + 3 a x + 1 \leq 0$

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2. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、y=4x B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、y=±2x D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a^{2} > a$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \geq 1) ，$ 那么 $1 + a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2020}$ =（）

A、 $a_{2021}$ B、 $a_{2022}$ C、 $a_{2023}$ D、 $a_{2024}$

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5. 焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（）

A、 $x^{2} = 8 y$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，对 $\forall n \in N^{*}$ 都有 $2 a_{n + 1}^{3} = a_{n + 2}^{3} + a_{n}^{3}$ ，则 $a_{10}$ 等于（）

A、10 B、 $\sqrt[3]{10}$ C、64 D、4

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 过 $F_{1}$ 作x轴垂线交椭圆于P，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{°} ，$ 则该椭圆的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}} ，$ 则该数列共有（）

A、132项 B、133项 C、134项 D、135项

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a^{2} < a b < b^{2}$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $\log_{2} x = - 1$ B、 $x = 1$ 是 $x^{2} = 1$ 的充分不必要条件 C、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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11. 下列有关双曲线 $2 x^{2} - y^{2} = 8$ 的性质说法正确的是（）

A、离心率为 $\sqrt{3}$ B、顶点坐标为(0，±2) C、实轴长为4 D、虚轴长为 $4 \sqrt{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，前n项和为 $S_{n} ，$ 且 $2 a_{1} + 2 a_{3} = S_{5} ，$ 下列结论中正确的是（）

A、 $S_{7}$ 最小 B、 $S_{13} = 0$ C、 $S_{4} = S_{9}$ D、 $a_{7} = 0$

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三、填空题

13. 已知x>1，则 $x + \frac{1}{x - 1} + 3$ 的最小值是.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \sqrt{2}) ，$ 其长轴长的取值范围是[4，6]，则该椭圆离心率的取值范围是.

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15. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ，$ 公差为d，满足 $a_{1} = 3 ， a_{k} = 9 ， k < d (k \in N^{*}) ，$ 则 $S_{n} =$ .

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16. 若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知实数a>0，b>0且a+b+8=ab.

(1)、求ab的最小值；

(2)、求a+2b的最小值.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ，$ 且 $2 a_{2}$ 是 $a_{3}$ 和 $4 a_{1}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2 n + a_{n}^{2} (n \in N^{*}) ，$ 求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} .$

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - k ， g (x) = x^{2} - 2 x$

(1)、若对任意x∈[-3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；

(2)、若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [- 3 ， 3] ，$ 使 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数k的取值范围.

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20. 如图，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x轴不垂直，且点A位于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.

(1)、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B} ，$ 求AB所在的直线方程；

(2)、求证： $\frac{| A B |}{| D F |}$ 为定值.

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21. 在① $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列，② $a_{n + 2} + a_{n + 1} + a_{n - 1} + a_{n - 2} = 4 a_{n} (n \geq 3)$ ，③ $a_{n + 3} - a_{n} = 6 (n \geq 1)$ 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中.
问题：已知在数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{n + 1} - a_{n - 1} = 4 (n \geq 2) ，$ 且________，若数列 ${a_{n}}$ 等差数列，请证明；若数列 ${a_{n}}$ 不是等差数列，请举例说明.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ ， $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . $F$ 是右焦点，过 $F$ 点任作直线 $l$ 交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、试探究直线 $A M$ 与直线 $B N$ 的交点 $P$ 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

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