天津河北区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 平面直角坐标系内，与点 $P (- 3, 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(2, - 3)$ D、 $(- 3, - 2)$

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3. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、(-2， 2) B、(2， -2) C、(2， 2) D、(-2， -2)

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4. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = 2 {(x - 4)}^{2} + 1$ B、 $y = 2 {(x - 4)}^{2} - 1$ C、 $y = 2 {(x + 4)}^{2} + 1$ D、 $y = 2 {(x + 4)}^{2} - 1$

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5. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有 $x$ 个队参加比赛，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 90$ B、 $x (x + 1) = 90$ C、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 90$ D、 $x (x - 1) = 90$

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6. 函数y=ax²﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $E M$ 经过圆心 $O$ ， $E M ⊥ C D$ 于 $M$ ，若 $C D = 4$ ， $E M = 6$ ，则 $\overset{⌢}{C E D}$ 所在圆的半径为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、4

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8. 如图， $P A$ 、 $P B$ 、 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点分别是 $A$ 、 $B$ 、 $E$ ， $C D$ 分别交 $P A$ 、 $P B$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，若 $∠ A P B = 60 °$ ，则 $∠ C O D$ 的度数（）

A、50° B、60° C、70° D、75°

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9. 如图，点E在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ A B F$ 的位置，连接 $E F$ ，过点A作 $E F$ 的垂线，垂足为点H，与 $B C$ 交于点G.若 $B G = 3$ ， $C G = 2$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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10. 抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax²+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b²+2b＞4ac.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 若函数 $y = (m - 3) x^{m^{2} - 7}$ 是二次函数，则m的值为．

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12. 已知函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时， $x$ 的取值范围是．

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13. 如图，设A(-2，y₁)、B(1，y₂)、C(2，y₃)是抛物线y=-(x+1)²+m上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为(用“>”连接)．

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14. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若 $B^{'}$ 落到 $B C$ 边上， $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ C B^{'} C^{'}$ 的度数为．

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15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度增加了米．

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16. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB ， CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是．

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17. 以 $O$ 为中心点的量角器与直角三角板 $A B C$ 如图所示摆放，直角顶点 $B$ 在零刻度线所在直线 $D E$ 上，且量角器与三角板只有一个公共点 $P$ ，若点 $P$ 的读数为135°，则 $∠ C B D$ 的度数是．

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18. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 是该直线上的任一点，过点 $D (3 ， 0)$ 向以 $P$ 为圆心， $\frac{1}{2} A B$ 为半径为 $⊙ P$ 作两条切线，切点分别为 $E$ 、 $F$ ，则四边形 $P E D F$ 面积的最小值为．

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三、解答题

19. 解方程： $x^{2} + 10 x + 16 = 0$ ．

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20. 如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、当0＜x＜3时，求y的取值范围．

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21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)、求证：AC平分∠DAB；

(2)、若CD=4，AD=8，试求⊙O的半径．

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22. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销意将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．

(1)、写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)、超市要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，则每箱牛奶的定价应是多少钱？

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23. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，以点A为旋转中心，把 $△ A B O$ 顺时针旋转，得 $△ A C D$ .

（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 $D C / / x$ 轴时，求点C的坐标.

（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $O B$ 上的一点P旋转后的对应点为 $P^{'}$ ，当 $D P + A P^{'}$ 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

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24. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A$ ，点 $C$ ，且交 $x$ 轴于另一上点 $B$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标及抛物线的解析式；

(2)、在直线 $A C$ 上方的抛物线上有一点 $M$ ，求三角形 $A C M$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

(3)、将线段 $O A$ 绕 $x$ 轴上的动点 $P (m ， 0)$ 顺时针旋转90°得到线段 $O^{'} A^{'}$ ，若线段 $O^{'} A^{'}$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 $m$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

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